Inverzní prvek

V [[algebra|algebře]] značí '''inverzní prvek''' k prvku ''x'' vzhledem k operaci *, takový prvek ''y'', pro který se ''x*y'' rovná [[neutrální prvek|neutrálnímu prvku]]. 

Prvek se nazývá [[invertibilní prvek|invertibilní]], existuje-li pro něj inverzní prvek.

== Příklady ==
* Pokud (''S'',+) jsou [[reálné číslo|reálná čísla]] se [[sčítání]]m, tak existuje inverzní prvek ke všem prvkům a nazývá se [[opačné číslo]] a značí (''− x'').
* Pokud (''S'',*) jsou reálná čísla s [[násobení]]m, tak existuje inverzní prvek ke všem prvkům kromě nuly a nazývá se [[převrácená hodnota]] a značí (1/''x'').
* Pokud (''S'',*) jsou ''n''-rozměrné [[Čtvercová matice|čtvercové]] [[matice]] s [[násobení matic|násobením]], tak jsou invertibilní právě tehdy, je-li její [[determinant]] nenulový (tedy jedná se [[regulární matice]]).

== Formální definice ==
Buď ''S'' [[množina]] s [[binární operace|binární]] [[operace (matematika)|operací]] *. Pokud ''e''&nbsp;∈&nbsp;''S'' je [[neutrální prvek]] (''S'',*) a pro nějaké ''a'',&nbsp;''b''&nbsp;∈&nbsp;''S'' platí, že ''a''&nbsp;*&nbsp;''b''&nbsp;=&nbsp;''e'', tak se ''a'' nazývá '''levá inverze''' prvku ''b'' a ''b'' se nazývá '''pravá inverze''' prvku ''a''. Pokud je prvek ''x'' pravou i levou inverzí prvku ''y'', nazývá se '''inverze''' prvku ''y'', nebo též '''inverzním prvkem''' prvku ''y''.

Prvek může mít několik levých či několik pravých inverzí. Může mít dokonce oboje zároveň.

Pokud je ale operace [[asociativita|asociativní]], platí, že má-li prvek levou a pravou inverzi, jsou si obě rovny a jsou dány jednoznačně.


{| class="wikitable"
! colspan="4"| <big>Struktury s jednou binární operací</big>
|-
! &nbsp;&nbsp;
! width=60 | [[Asociativita]]
! width=60 | [[Neutrální prvek]]
! width=60 | [[Inverzní prvek]]
|- align="center" 
! [[Grupa]]
| [[Soubor:FFresh tick octagon.png|32px]] ||  [[Soubor:FFresh tick octagon.png|32px]] || [[Soubor:FFresh tick octagon.png|32px]]
|- align="center" 
! [[Monoid]]
| [[Soubor:FFresh tick octagon.png|32px]] || [[Soubor:FFresh tick octagon.png|32px]] || [[Soubor:FFresh cancel.png|32px]]
|- align="center" 
! [[Pologrupa]]
| [[Soubor:FFresh tick octagon.png|32px]] || [[Soubor:FFresh cancel.png|32px]] || [[Soubor:FFresh cancel.png|32px]]
|- align="center" 
! [[Lupa (matematika)|Lupa]]
| [[Soubor:FFresh cancel.png|32px]] || [[Soubor:FFresh tick octagon.png|32px]] || [[Soubor:FFresh tick octagon.png|32px]]
|- align="center" 
! [[Kvazigrupa]]
| [[Soubor:FFresh cancel.png|32px]] || [[Soubor:FFresh cancel.png|32px]] || [[Soubor:FFresh cancel.png|32px]]
|- align="center" 
! [[Grupoid]]
| [[Soubor:FFresh cancel.png|32px]] || [[Soubor:FFresh cancel.png|32px]] || [[Soubor:FFresh cancel.png|32px]]
|}
== Související články ==
* [[Neutrální prvek]]
* [[Grupa]]


{{Článek z Wikipedie}}
[[Kategorie:Algebra]]