Křivka

{{Různé významy|tento=geometrickém útvaru|druhý=rodu ptáků|stránka=Křivka (rod ptáků)}}
'''Křivka''' je v [[matematika|matematice]] [[geometrie|geometrický]] jednorozměrný objekt, případně zobrazení z [[úsečka|úsečky]] do nějakého matematického prostoru (tzv. parametrizovaná křivka). Jednoduchý příklad křivky je například [[kružnice]] nebo [[přímka]].
== Formální definice ==
Je-li ''M'' nějaký matematický prostor (například [[Eukleidovský prostor]], [[varieta (matematika)|varieta]], [[topologický prostor]]) a ''I'' [[Interval (matematika)|interval]] reálných čísel, pak křivkou <big>\(k\)</big> rozumíme [[spojitost|spojité]] [[zobrazení (matematika)|zobrazení]] z ''I'' do ''M''. Toto se někdy také nazývá '''parametrická křivka'''. Pokud má smysl mluvit o [[derivace|derivaci]] ''k'' (t.j. pokud cílový prostor je [[Euklidův prostor]] nebo [[varieta (matematika)|hladká varieta]] a derivace existuje v každém bodě), nazývá se křivka '''hladká''', anebo '''diferenciální'''. Hladká křivka je '''regulární''', pokud její derivace není v žádném bodě nulová. Křivka se nazývá '''uzavřená''', pokud ''I'' je uzavřený interval ''[a,b]'' a <big>\(k(a)=k(b)\)</big>. Množina <big>\(\{k(x);\,x\in I\}\)</big> se nazývá '''obraz křivky'''. Mají-li složky <big>\(k_i\)</big> křivky ''k'' na otevřeném [[interval (matematika)|intervalu]] <big>\((a,b)\)</big> spojité derivace až do <big>\(r\)</big>-tého řádu, pak říkáme, že se jedná o ''křivku <big>\(r\)</big>-té třídy''. Má-li křivka všechny derivace, říkáme někdy, že je třídy nekonečno, nebo-li někonečně diferencovatelná.
Někdy se slovem ''křivka'' myslí jenom obraz křivky (v dřívější definici), t.j. množina bodů. Toto se někdy také nazývá '''neparametrická křivka'''.
== Rovinná křivka ==
'''Rovinnou křivkou''' rozumíme [[zobrazení (matematika)|zobrazení]] 
:<big>\(x = \phi(t)\)</big>
:<big>\(y = \psi(t)\)</big>
pro <big>\(t \in \langle\alpha,\beta\rangle\)</big>, kde <big>\(\phi\)</big> a <big>\(\psi\)</big> jsou spojité funkce. 
Předpokládáme obvykle, že [[funkce (matematika)|funkce]] <big>\(\phi(t), \psi(t)\)</big> jsou na [[interval (matematika)|intervalu]] <big>\(\langle\alpha,\beta\rangle\)</big> [[spojitá funkce|spojité]] a mají na tomto intervalu po částech spojité [[derivace]] <big>\(\phi^\prime(t), \psi^\prime(t)\)</big>. Někdy se předpokládá, že funkce <big>\(\phi, \psi\)</big> jsou pouze spojité, pak se ale může stát že obraz křivky je celý dvourozměrný čtverec. 
Křivku nazveme ''regulární'', pokud pro žádné <big>\(t\)</big> nejsou derivace <big>\(\phi^\prime(t), \psi^\prime(t)\)</big> současně [[nula|nulové]]. Křivku, která neprotíná sama sebe (t.j. je prostá) označujeme jako '''jednoduchou'''. 
Rovnici obrazu rovinné křivky lze často vyjádřit ve formě funkční závislosti [[proměnná|proměnných]] <big>\(x, y\)</big>, tzn.
:<big>\(y=f(x)\)</big>,
popř.
:<big>\(F(x,y)=0\)</big>.
Pokud platí současně <big>\(\phi(\alpha)=\phi(\beta), \psi(\alpha)=\psi(\beta)\)</big>, tzn. počáteční bod křivky splývá s bodem koncovým, pak křivku označíme jako '''uzavřenou'''.
Křivku označíme jako '''rektifikovatelnou''', pokud má konečnou [[délka|délku]], kterou lze vyjádřit jako
:<big>\(l = \int_\alpha^\beta \sqrt{{\phi^\prime}^2(t)+{\psi^\prime}^2(t)}\mathrm{d}t\)</big>
Někdy se také slovem křivka myslí '''množina''' bodů <big>\(\{(\phi(t), \psi(t));\, t\in<\alpha,\beta>\}\)</big>.
=== Jordanova křivka ===
Jednoduchou rektifikovatelnou uzavřenou křivku (která nemusí být po částech hladká) označujeme jako '''Jordanovu křivku'''. Jordanova křivka je uzavřená, takže rozděluje rovinu na dvě souvislé oblasti. Tu, která je [[Omezená množina|omezená]] označujeme jako '''vnitřek křivky''' (nebo '''Jordanovu oblast'''), zbytek roviny pak jako '''vnějšek křivky'''.
=== Orientace křivky ===
Na neparametrické hladké křivce (t.j. množině, která je obrazem parametrické hladké křivky) můžme zvolit dvě [[orientace]], což je volba směru, kterým se křivka pohybuje. Formálněji, je to volba baze jejího (jednorozměrného) tečného prostoru v každém bodě. Tvoří-li uzavřená křivka hranici určité oblasti <big>\(\Omega\)</big>, pak řekneme, že je ''kladně orientovaná'' vzhledem k <big>\(\Omega\)</big>, pokud oblast <big>\(\Omega\)</big> zůstává po levé straně křivky (při pohybu po kladně orientované křivce jde o pohyb proti směru hodinových ručiček). Formálněji, křivka je kladně orientována, pokud normálový vektor k oblasti <big>\(\Omega\)</big> a tečný vektor ke křivce určen její orientací tvoří kladnou bázi tečného prostoru (souřadnice těchto vektorů napsány ve sloupcích vedle sebe tvoří [[matice|matici]], která má kladný [[determinant]]). V opačném případě se jedná o ''záporně orientovanou křivku''.
=== Příklady rovinných křivek ===
* [[přímka]] ležící v zadané [[rovina|rovině]]
* [[kuželosečka]]
* [[cykloida]]
* [[spirála]]
* [[řetězovka]]
== Prostorová křivka ==
'''Prostorovou křivkou''' rozumíme [[zobrazení (matematika)|zobrazení]] 
:<big>\(x = x(t)\)</big>
:<big>\(y = y(t)\)</big>
:<big>\(z = z(t)\)</big>
pro <big>\(t \in \langle\alpha,\beta\rangle\)</big>, kde ''x'', ''y'' a ''z'' jsou spojité funkce. 
Uvedené rovnice křivky bývají obvykle zapisovány ve [[vektor]]ovém tvaru
:<big>\(\mathbf{r} = \mathbf{r}(t)\)</big>,
kde <big>\(\mathbf{r}\)</big> představuje [[rádiusvektor]].
Křivku v prostoru lze také zadat jako [[průnik]] dvou [[plocha|ploch]], např.
:<big>\(z=f(x,y)\)</big>
:<big>\(z=g(x,y)\)</big>
nebo
:<big>\(F(x,y,z)=0\)</big>
:<big>\(G(x,y,z)=0.\)</big>
Jsou-li rovnice popisující křivku [[algebraická rovnice|algebraické]], pak křivku označujeme jako '''algebraickou'''. Pokud uvedené rovnice nejsou algebraické, pak říkáme, že křivka je '''transcendentní'''.
Někdy se také slovem křivka myslí '''množina''' bodů <big>\(\{(x(t), y(t), z(t));\, t\in<\alpha,\beta>\}\)</big>.
=== Příklady prostorových křivek ===
* [[přímka]]
* [[šroubovice]]
== Oblouk křivky ==
'''Obloukem křivky''' <big>\(k: [a,b]\to \R^n\)</big> od bodu <big>\(t_0 \in \langle a,b\rangle\)</big> do bodu <big>\(t \in \langle a,b\rangle\)</big> se nazývá ''délka'' části křivky mezi ''k(t_0)'' a k(t). Pokud je křivka diferencovatelná (t.j. ''k'' má derivace), dá se spočíst vzorcem
:<big>\(s = \int_{t_0}^t \sqrt{{\sum_i \left(\frac{\mathrm{d}k_i}{\mathrm{d}t}\right)}^2} \mathrm{d} t\)</big>
kde <big>\(k_i\)</big> je ''i''-tá složka křivky.
[[Diferenciál (matematika)|Diferenciál]]
:<big>\(\mathrm{d}s = \sqrt{\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}\cdot\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}}\mathrm{d}t = \sqrt{\mathrm{d}\mathbf{r}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}} = \sqrt{\sum_i\mathrm{d}k_i^2}\)</big>
nazýváme ''diferenciál (prvek, element) oblouku'' nebo ''lineární prvek (element) křivky''.
== Křivky vyplňující prostor ==
Obrazem křivky můžou být i množiny, které mají větší [[topologická dimenze|topologickou dimenzi]] než jedna. Kupříkladu [[Hilbertova křivka]] je spojité zobrazení úsečky na čtverec, t.j. spojitá křivka, která vyplní celý (dvou-rozměrný) čtverec. 
[[File: Hilbert curve.png|center]]
Na obrázku je prvních 6 iterací kontrukce Hilbertovy křivky. Hilbertova křivka je pak limitou těchto křivek. Je spojitá, ale není [[prostá funkce|prostá]]. Její složky jsou spojité funkce, které nemají derivaci v žádném bodě. Jiný známý příklad křivky, která vyplní čtverec, je tzv. [[Sierpinského křivka]].
Klasifikace, který [[topologický prostor]] je spojitým obrazem intervalu ''[0,1]'', řeší tzv. [[Hahn–Mazurkiewiczova věta]]:
* Neprázdny [[hausdorfův prostor|hausdorfův]] [[topologický prostor]] ''X'' je spojitým obrazem intervalu ''[0,1]'' právě když je [[kompaktní prostor|kompaktní]], [[souvislý prostor|souvislý]], lokálně souvislý a [[separabilní prostor|separabliní]].
Speciálně tedy každá kompaktní souvislá [[varieta (matematika)|varieta]] se dá "vyplnit" křivkou.
== Příklady ==
* [[Bézierova křivka]]
* [[Racionální Bézierova křivka]]
* [[B–spline křivka]]
[[Soubor:Krivka explicitne.png]]
[[Soubor:Krivka parametricky.png]]
[[Soubor:Krivka aprox.png]]
[[Soubor:Krivka inter.png]]
== Související články ==
* [[Lagrangeova interpolace]]
* [[C1 kubická interpolace]]
* [[C2 kubická interpolace]]
* [[Hermitova kubika]]
* [[Algoritmus de Casteljau]]
* [[Racionální Algoritmus de Casteljau]]
* [[Afinní transformace souřadnic]]
* [[Výpočet průsečíku křivek]]
== Literatura ==
* [[Karel Rektorys|Rektorys, K.]] a spol.: ''Přehled užité matematiky I.''. Prometheus, Praha, [[2003]], 7. vydání. ISBN 80-7196-179-5
== Externí odkazy ==
* [http://dagles.klenot.cz/rihova/krivky.pdf Některé rovinné křivky - lemniskáta, Archimédova spirála, atd. (pdf)]
* [http://www.math.muni.cz/~mlc/CD/disert.pdf Historický vývoj pojmu křivka (disertační práce, pdf)]

{{Článek z Wikipedie}}
[[Kategorie:Křivky]]