Soustava hmotných bodů

Z Multimediaexpo.cz

Nemáte oprávnění „upravit tuto stránku“. Důvod:

Můžete si prohlédnout a zkopírovat zdrojový kód této stránky:

'''Soustavou hmotných bodů''' je nazývána [[množina]] [[hmotný bod|hmotných bodů]], které vyplňují objem [[těleso|tělesa]]. Soustava hmotných bodů se od jediného hmotného bodu odlišuje především tím, že mezi jednotlivými hmotnými body (tzn. uvnitř tělesa) mohou působit [[síla|síly]]. Popisem pohybu soustavy hmotných bodů se zabývá [[mechanika soustavy hmotných bodů]]. ==Volná soustava hmotných bodů== Neexistují-li mezi hmotnými body žádné vazby, pak jsou [[polohový vektor|polohové vektory]] <big>\(\mathbf{r}_i\)</big> jednotlivých hmotných bodů soustavy vzájemně nezávislé. Taková soustava hmotných bodů se označuje jako '''volnou'''. Vzhledem k tomu, že každý polohový vektor má 3 [[souřadnice]] a polohové vektory jsou vzájemně nezávislé, je k určení polohy soustavy <big>\(N\)</big> hmotných bodů potřeba <big>\(3N\)</big> souřadnic. Volná soustava má tedy 3N [[stupeň volnosti|stupňů volnosti]]. Pohyb hmotných bodů není ve volné soustavě nijak omezován (s výjimkou [[pohybová rovnice|pohybových rovnic]]). ==Vázaná soustava hmotných bodů== Většina úloh [[mechanika|mechaniky]] vede ke studiu soustav hmotných bodů, jejichž pohyby jsou omezovány jistými podmínkami. Tyto podmínky se [[matematika|matematicky]] vyjadřují různými vztahy mezi [[souřadnice|souřadnicemi]] hmotných bodů dané soustavy a vyplývají z mechanických podmínek, za kterých se pohyb soustavy děje. Dané podmínky pak představují tzv. '''(mechanické) vazby''', které jsou předepsány pro určitou soustavu. Soustavy hmotných bodů, které jsou omezeny vazbami se nazývájí '''vázanými soustavami'''. Příkladem může být pohyb bodu, který je vázán na nějakou [[plocha|plochu]] nebo [[křivka|křivku]]. Např. v [[Soustava hmotných bodů#Tuhá soustava hmotných bodů|dokonale tuhé soustavě]] hmotných bodů se nemění vzájemné vzdálenosti mezi jednotlivými hmotnými body soustavy (jinak by to samozřejmě nebyla dokonale tuhá soustava). ===Vazbové síly=== Pokud by soustava byla volná, byl by pohyb <big>\(i\)</big>-tého hmotného bodu popsán [[pohybová rovnice|pohybovými rovnicemi]] :<big>\(m_i\ddot{\mathbf{r}}_i = \mathbf{F}_i\)</big>, kde <big>\(m_i\)</big> je hmotnost <big>\(i\)</big>-tého hmotného bodu a <big>\(\mathbf{F}_i\)</big> je [[výslednice sil]] ([[vnější síla|vnějších]] i [[vnitřní síla|vnitřních]]) působících na <big>\(i\)</big>-tý bod. Pro vázané soustavy však tyto rovnice nelze použít, protože jejich řešení obecně nesplňuje vazební podmínky. Mechanizmus vazby působí podobně, jako když na hmotné body působí dodatečné síly, které zaručují, že v případě pokud by okamžitý pohybový stav v nejbližším okamžiku vedl k odchylkám od předepsaných podmínek, budou se tyto dodatečné síly snažit uvést pohyb hmotného bodu do souladu se zadanými podmínkami. Takovéto síly se označují jako '''vazbové'''. Označíme-li jejich vazbovou sílu působící na <big>\(i\)</big>-tý hmotný bod jako <big>\(\mathbf{R}_i\)</big>, potom je možné pohyb soustavy popsat jako :<big>\(m_i\ddot{\mathbf{r}}_i = \mathbf{F}_i + \mathbf{R}_i\)</big> Řešení těchto rovnic by bylo ve shodě s vazbami. Síly <big>\(\mathbf{F}_i\)</big>, které jsou výslednicemi všech vnitřních i vnějších sil působících na jednotlivé hmotné body (s výjimkou vazbových sil), musí být dány a říkáme jim '''síly dané''' (též '''explicitní''' nebo '''vtištěné'''). Vazbové síly však nejsou předem dány a závisí jak na počátečním pohybovém stavu soustavy, tak i na explicitních silách. ===Druhy vazeb=== ====Holonomní vazba==== V nejjednodušším případě jsou vazby vyjadřovány v [[matematika|matematické]] formě jako vztahy mezi [[souřadnice|souřadnicemi]] jednotlivých bodů soustavy. Takové vazby se nazývají '''holonomní'''. Nejjednodušší podmínky lze zapsat jako <big>\(r\)</big> nezávislých ''vazbových [[rovnice|rovnic]]'' ve tvaru :<big>\(\Phi_i(x_1,y_1,z_1,x_2,...,z_n)=0\)</big>, kde <big>\(i=1,2,...,r\)</big> je index vazby. Tyto vazby jsou časově neměnné a nazývají se '''skleronomní vazby'''. Počet [[stupeň volnosti|stupňů volnosti]] <big>\(\nu\)</big> vázané soustavy je určen [[rozdíl|rozdílem]] počtu všech <big>\(3n\)</big> souřadnic a počtu nezávislých vazbových rovnic, tedy :<big>\(\nu = 3n-r\)</big> Pokud lze vazby vyjádřit časově proměnnými rovnicemi, pak se hovoří o '''vazbách rheonomních'''. Obecně je lze vyjádřit ve tvaru :<big>\(\Phi_i(x_1,y_1,z_1,x_2,...,z_n,t)=0\)</big>, kde <big>\(i=1,2,...,r\)</big> je index vazby. Holonomní podmínky se dají také vyjádřit ve tvaru [[diferenciální rovnice|diferenciálních rovnic]], např. skleronomní vazby <big>\(f(x_k)=0\)</big> lze psát ve tvaru :<big>\(\sum_k \frac{\part f}{\part x_k}\mathrm{d}x_k = 0\)</big> ====Neholonomní vazba==== Pokud nelze vazby vyjádřit pouze vztahy mezi souřadnicemi hmotných bodů soustavy, popř. časem, pak se hovoří o '''vazbách neholonomních'''. V takové vazební podmínce se může např. vyskytovat [[rychlost]] pohybu hmotného bodu soustavy. Obecně se jedná o [[diferenciální rovnice]], které nelze [[Integrál|integrací]] převést na podmínky holonomního tvaru. Pokud jsou tyto podmínky časově neměnné (tedy skleronomní), lze je psát ve tvaru lineárních vztahů mezi [[Diferenciál (matematika)|diferenciály]] souřadnic :<big>\(\Phi_{i\alpha_1}\mathrm{d}x_1 + \Phi_{i\beta_2}\mathrm{d}y_1 + \Phi_{i\gamma_1}\mathrm{d}z_1 + \cdots + \Phi_{i\gamma_n}\mathrm{d}z_n = 0\)</big> pro <big>\(i=1,2,...,r\)</big>. Pro rheonomní podmínky pak lze psát :<big>\(\Phi_{i\alpha_1}\mathrm{d}x_1 + \Phi_{i\beta_2}\mathrm{d}y_1 + \Phi_{i\gamma_1}\mathrm{d}z_1 + \cdots + \Phi_{i\gamma_n}\mathrm{d}z_n + \Phi_{it}\mathrm{d}t = 0\)</big> pro <big>\(i=1,2,...,r\)</big>. ====Jednostranné a oboustranné vazby==== Pokud vazby omezují pohyb hmotného bodu soustavy pouze z jedné strany, nazývají se '''jednostranné'''. Takové jsou např. vazby při styku dvou těles. Tyto vazby se vyjadřují [[nerovnice|nerovnostmi]] (a to jak holonomními, tak i neholonomními). Vazby omezující pohyb z obou stran jsou '''oboustranné'''. ==Tuhá soustava hmotných bodů== Jsou-li [[vzdálenost]]i mezi jednotlivými hmotnými body neměnné, tzn. <big>\(|\mathbf{r}_i-\mathbf{r}_k|=\mbox{konst.}\)</big> pro všechna <big>\(i, k\)</big>, pak říkáme, že se jedná o '''(dokonale) tuhou soustavu hmotných bodů'''. ==Příklad== Jako příklad soustavy hmotných bodů může posloužit nějaké jednoduché těleso, např. malý [[kámen]]. Tento kámen se skládá z [[atom|atomů]], které můžeme považovat za hmotné body. Mezi těmito atomy (tedy hmotnými body) působí [[vnitřní síla|vnitřní síly]], který tento kámen udržují pohromadě. Pokud na takový kámen budeme působit [[vnější síla|vnější silou]], např. jím udeříme o zem, může tato vnější síla způsobit rozpad celé soustavy. == Související články == * [[Hmotný bod]] * [[Mechanika soustavy hmotných bodů]] * [[Hmotný střed]] * [[Königova věta (fyzika)|Königova věta]] {{Článek z Wikipedie}} [[Kategorie:Mechanika]]

Návrat na stránku „Soustava hmotných bodů“.