Těleso (algebra)

Z Multimediaexpo.cz

Nemáte oprávnění „upravit tuto stránku“. Důvod:

Můžete si prohlédnout a zkopírovat zdrojový kód této stránky:

'''Těleso''' (angl. ''division ring'') je [[algebraická struktura]], na které jsou definovány dvě [[binární operace]]. Je rozšířením [[okruh (algebra)|okruhu]], oproti kterému navíc přináší existenci [[Inverzní prvek|inverzního prvku]] pro obě binární operace (okruh vyžadoval existenci inverzního prvku jen pro operaci +). Nejčastěji se tělesem rozumí [[komutativní těleso]], ve kterém je operace násobení komutativní, případně takové těleso, u něhož není komutativita násobení podstatná či není známo, zda je násobení komutativní.<ref name="Kuroš">{{Citace monografie | příjmení =Kuroš | jméno = Alexandr Gennaďjevič | rok = 1977 | titul = Kapitoly z obecné algebry | kapitola = II. Grupy a okruhy | vydavatel = Academia | místo = Praha }}</ref> To odpovídá tomu, že nejčastěji uvažovaná tělesa, totiž [[reálná čísla]], [[racionální čísla]] a [[komplexní čísla]], jsou všechna komutativní. Rovněž jsou podle [[Wedderburnova věta|Wedderburnovy věty]] komutativní i všechna [[konečné těleso|konečná tělesa]]. Příkladem [[nekomutativní těleso|nekomutativního tělesa]] je těleso [[kvaternion]]ů. == Definice tělesa == Trojici <big>\((\mathcal{F},+,\cdot)\)</big>, kde <big>\(\mathcal{F}\)</big> je [[množina]] a + ([[sčítání]]) a <big>\(\cdot\)</big> ([[násobení]]) jsou [[binární operace]], nazveme '''tělesem''', je-li <big>\((\mathcal{F}, +, \cdot)\)</big> [[okruh (algebra)|okruh]] a platí-li navíc * pro každé <big>\(x \in \mathcal{F} \setminus \{ 0 \}\)</big> existuje <big>\(y \in \mathcal{F}\)</big> takové, že <big>\(x \cdot y = y \cdot x = 1\)</big>, což značíme <big>\(y = x^{-1}\)</big>. Alternativní definice tělesa zní následovně: těleso je množina ''F'' s aspoň dvěma prvky 0,1 a s následujícími operacemi: * sčítání, přičemž (''F'',+,-,0) je [[Abelova grupa]] (+ je [[Komutativita|komutativní]]), * násobení, přičemž <big>\((F\setminus\{0\},\cdot,^{-1},1)\)</big> je [[grupa]], a navíc platí distributivní zákony mezi sčítáním a násobením, tj. :<big>\(a(b+c) = ab + ac\)</big> :<big>\((b+c)a = ba + ca\)</big> '''Nadtěleso''' tělesa <big>\(\mathcal{F}\)</big> je takové těleso, že <big>\(\mathcal{F}\)</big> je jeho [[podmnožina|podmnožinou]]. == Příklady těles == * Množina [[Racionální číslo|racionálních čísel]] <big>\(\mathbb{Q}\)</big> * Množina [[Reálné číslo|reálných čísel]] <big>\(\mathbb{R}\)</big> a její největší [[algebraické rozšíření|algebraické]] komutativní nadtěleso, množina [[Komplexní číslo|komplexních čísel]] <big>\(\mathbb{C}\)</big> * [[Kvaternion]]y, nekomutativní těleso, největší algebraické nadtěleso množiny reálných čísel <big>\(\mathbb{R}\)</big> * Těleso (reálných) racionálních funkcí <big>\(\mathbb{R}(x)\)</big> * [[Množina zbytkových tříd]] <big>\(\mathbb{Z}_p\)</big> pro každé [[prvočíslo]] <big>\(p\)</big>. * [[Konečné těleso|Galoisova tělesa]] <big>\(\operatorname{GF}(p^n)\)</big> == Související články == * [[Archimédovské těleso (algebra)]] == Externí odkazy == * [https://web.archive.org/web/20040927001600/http://www.kolej.mff.cuni.cz/~lmotm275/skripta/mzahrad/node21.html Skripta Pěstujeme lineární algebru] * [http://mathworld.wolfram.com/Field.html Komutativní těleso na MathWorld (en)] * [http://hyperkrychle.cz/field.html Generování konečných těles] == Reference == <references /> {{Článek z Wikipedie}} [[Kategorie:Algebraické struktury]]

Návrat na stránku „Těleso (algebra)“.