Totálně omezený metrický prostor

Z Multimediaexpo.cz

Nemáte oprávnění „upravit tuto stránku“. Důvod:

Můžete si prohlédnout a zkopírovat zdrojový kód této stránky:

{{Upravit}} Nejobecnější definice '''Totálně omezeného metrického prostoru''' je: podmnožina ''S'' prostoru ''X'' je totálně omezená tehdy a pouze tehdy, pokud pro danou velikost ''E'' existuje: * [[přirozené číslo]] ''n'' a soubor <big>\(A_1, A_2, A_3,... A_n\)</big> podmnožin množiny ''X'', takový, že ** ''S'' je podmnožinou [[sjednocení]] těchto podmnožin (jinak řečeno, tento soubor podmnožin je konečné pokrytí množiny ''S'') a ** každá podmnožina ''A_i'' má velikost ''E'' (nebo menší). V [[matematická symbolika|matematické symbolice]]: : <big>\( \forall_{E}\; \exists_{n \in \mathbb{N}}\; \exists_{ A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{n} \subseteq X}\left ( S \subseteq \bigcup_{i=1}^{n} A_{i} \; \mbox{a zaroven}\; \forall_{i = 1, \ldots, n}\; \mathrm{velikost}(A_{i}) \leq E \right ). \! \)</big> Uvažujeme-li ''P=X'', pak je prostor ''X'' totálně omezený tehdy a jen tehdy, je li ''P'' totálně omezená množina. == Porovnání s omezenou množinou == ;Totální omezenost je silnější vlastnost, než [[Omezená množina|omezenost]]. Ukážeme to na příkladu. Uvažme prostor <big>\(M \)</big> všech [[Omezená posloupnost|omezených posloupností]] reálných čísel, kde metrika přiřadí dvojici posloupností <big>\( a_i,\, b_i \,\! \)</big> [[supremum]] z absolutní hodnoty jejich rozdílu přes všechny položky, tedy supremum z čísel <big>\( \left|a_1-b_1\right | ,\, \left|a_2-b_2\right | \dots \,\! \)</big>. Uvažme množinu <big>\(A\subseteq M \)</big> těch posloupností, které na každé pozici mají 2 nebo -2. Metrický prostor <big>\(M\)</big> není [[Omezená množina|omezený]] (ačkoli obsahuje pouze omezené posloupnosti). Množina <big>\(A\)</big> je omezená, ale nikoli totálně omezená. Omezenost plyne z toho, že každý prvek <big>\(A\)</big> má od posloupnosti samých nul vzdálenost nejvýše 2. Kdyby byl totálně omezený, pak by pro <big>\(\epsilon =1 \,\! \)</big> existovala konečná <big>\(\epsilon\)</big>-síť <big>\(S\)</big>, jejíž prvky můžeme označit <big>\( S(1), S(2), \dots S(m)\,\! \)</big>, kde <big>\(m\)</big> je počet jejích prvků. Pak by bylo možné definovat posloupnost <big>\( c_n\,\! \)</big>, definovanou takto: * <big>\(c_i = -2 \,\!\)</big>, pokud <big>\(i \le m \,\!\)</big> a <big>\(S(i)_i\ge 0 \,\!\)</big> * <big>\(c_i = \,2 \,\!\)</big>, pokud <big>\(i \le m \,\!\)</big> a <big>\(S(i)_i<0 \,\!\)</big> * <big>\(c_i = 0 \,\!\)</big>, pokud <big>\(i>m \,\!\)</big> Symbol <big>\(S(i)_i\)</big> značí <big>\(i\)</big>-tý prvek <big>\(i\)</big>-té posloupnosti v množině <big>\(S\)</big>. Myšlenka důkazu je v tom, že posloupnost <big>\(c_n\)</big> se musí "dostatečně lišit" od každé posloupnosti <big>\( S(i)\,\! \)</big>, čehož dosáhneme tak, že pro každé <big>\(i\)</big> vhodnou volbou <big>\(c_i\)</big> zajistíme dostatečnou odlišnost od posloupnosti <big>\(S(i)\)</big> Z předpokladu totální omezenosti vyplývá, že nějaký prvek <big>\(S(j)\)</big> má od posloupnosti <big>\( c_n\,\! \)</big> vzdálenost menší, než 1. Z definice <big>\( c_n\,\! \)</big> však plyne, že číslo <big>\(S(j)_j\)</big> je od čísla <big>\(c_j\)</big> vzdálené nejméně 2, takže i vzdálenost těchto posloupností (což je supremum vzdáleností na jednotlivých položkách) musí být nejméně 2, což je [[Důkaz sporem|spor]]. == Související články == * [[Kompaktní množina]] * [[Metrický prostor]] {{Článek z Wikipedie}} [[Kategorie:Geometrie]]

Návrat na stránku „Totálně omezený metrický prostor“.