nová soutěž o nejlepší webovou stránku !!
Proto neváhejte a začněte rychle soutěžit o lákavé ceny !!
Gravitační potenciál
Z Multimediaexpo.cz
m (Nahrazení textu „<math>“ textem „<big>\(“) |
m (Nahrazení textu „</math>“ textem „\)</big>“) |
||
| Řádka 7: | Řádka 7: | ||
== Gravitační potenciál hmotného bodu a kulově souměrného tělesa == | == Gravitační potenciál hmotného bodu a kulově souměrného tělesa == | ||
Gravitační potenciál hmotného bodu je v newtonovské fyzice vyjádřen vzorcem | Gravitační potenciál hmotného bodu je v newtonovské fyzice vyjádřen vzorcem | ||
| - | :<big>\(\phi(r) = -\frac{GM}{r},</ | + | :<big>\(\phi(r) = -\frac{GM}{r},\)</big> |
| - | * <big>\(G</ | + | * <big>\(G\)</big> je [[gravitační konstanta]] (někdy označována také <big>\(\kappa\)</big>) |
| - | * <big>\(M</ | + | * <big>\(M\)</big> je hmotnost hmotného bodu |
| - | * <big>\(r</ | + | * <big>\(r\)</big> je vzdálenost od hmotného bodu |
Stejný vzorec platí (přesně) i pro gravitační potenciál vně sféricky symetrického tělesa (nad jeho povrchem), '''r''' pak vyjadřuje vzdálenost od středu takového tělesa. Proto lze například v astronomii nahradit ve výpočtech kosmická tělesa hmotnými body. | Stejný vzorec platí (přesně) i pro gravitační potenciál vně sféricky symetrického tělesa (nad jeho povrchem), '''r''' pak vyjadřuje vzdálenost od středu takového tělesa. Proto lze například v astronomii nahradit ve výpočtech kosmická tělesa hmotnými body. | ||
| Řádka 18: | Řádka 18: | ||
Rychlost tělesa na kruhové dráze je v tomto potenciálu rovna Keplerovské rychlosti | Rychlost tělesa na kruhové dráze je v tomto potenciálu rovna Keplerovské rychlosti | ||
| - | <big>\(v_k=\sqrt{\frac{GM}{r}},</ | + | <big>\(v_k=\sqrt{\frac{GM}{r}},\)</big> |
Úniková rychlost je | Úniková rychlost je | ||
| - | <big>\(v_{esc}=\sqrt{\frac{2GM}{r}}=\sqrt{2} \ v_k.</ | + | <big>\(v_{esc}=\sqrt{\frac{2GM}{r}}=\sqrt{2} \ v_k.\)</big> |
== Plummerův potenciál == | == Plummerův potenciál == | ||
Protože se hmotný bod špatně integruje, je nutné ho šikovně "rozmazat". Jedním ze způsobů, jak to udělat, je použít Plummerovu sféru, jejíž potenciál je | Protože se hmotný bod špatně integruje, je nutné ho šikovně "rozmazat". Jedním ze způsobů, jak to udělat, je použít Plummerovu sféru, jejíž potenciál je | ||
| - | <big>\(\phi_P(r) = -\frac{GM}{\sqrt{r^2 + b^2}},</ | + | <big>\(\phi_P(r) = -\frac{GM}{\sqrt{r^2 + b^2}},\)</big> |
| - | kde <big>\(b</ | + | kde <big>\(b\)</big> je parametr. |
| - | Z Poissonovy rovnice pak odvodíme funkční závislost hustoty <big>\(\rho</ | + | Z Poissonovy rovnice pak odvodíme funkční závislost hustoty <big>\(\rho\)</big> na poloměru <big>\(r\)</big>. |
| - | <big>\(\rho_P(r) = \frac{3M}{4\pi b^3}\left(1+\frac{r^2}{b^2}\right)^{-5/2}</ | + | <big>\(\rho_P(r) = \frac{3M}{4\pi b^3}\left(1+\frac{r^2}{b^2}\right)^{-5/2}\)</big> |
Přičemž tato hustota jde do nekonečna, ale nediverguje. | Přičemž tato hustota jde do nekonečna, ale nediverguje. | ||
| Řádka 40: | Řádka 40: | ||
Analogie Plummerovy sféry ve válcových souřadnicích (opět "rozmazáváme" potenciál hmotného bodu). | Analogie Plummerovy sféry ve válcových souřadnicích (opět "rozmazáváme" potenciál hmotného bodu). | ||
| - | <big>\(\phi_K(R, z) = -\frac{GM}{\sqrt{R^2 + \left(a + |z|\right)^2}},</ | + | <big>\(\phi_K(R, z) = -\frac{GM}{\sqrt{R^2 + \left(a + |z|\right)^2}},\)</big> |
| - | * <big>\(R</ | + | * <big>\(R\)</big> je vzdálenost v rovině xy |
| - | * <big>\(a</ | + | * <big>\(a\)</big> je parametr |
| - | * <big>\(|z|</ | + | * <big>\(|z|\)</big> je absolutní hodnota vzdálenosti ve směru osy z. |
Poissonova rovnice ve válcových souřadnicích vede na povrchovou hustotu | Poissonova rovnice ve válcových souřadnicích vede na povrchovou hustotu | ||
| - | <big>\(\Sigma_K(R) = \frac{aM}{2\pi \left(R^2 + a^2\right)^{3/2}}.</ | + | <big>\(\Sigma_K(R) = \frac{aM}{2\pi \left(R^2 + a^2\right)^{3/2}}.\)</big> |
== Miyamoto−Nagai potenciál == | == Miyamoto−Nagai potenciál == | ||
Toto je zobecnění všech předchozích potenciálů. | Toto je zobecnění všech předchozích potenciálů. | ||
| - | <big>\(\phi_{MN}(R,z) = -\frac{GM}{\sqrt{R^2 + \left(a + \sqrt{z^2 + b^2}\right)^2}}.</ | + | <big>\(\phi_{MN}(R,z) = -\frac{GM}{\sqrt{R^2 + \left(a + \sqrt{z^2 + b^2}\right)^2}}.\)</big> |
Pokud | Pokud | ||
| - | * <big>\(a = 0</ | + | * <big>\(a = 0\)</big> a <big>\(b=0\)</big> ... přechází v potenciál hmotného bodu, neboť <big>\(r = \sqrt{R^2 + z^2}\)</big> |
| - | * <big>\(a=0</ | + | * <big>\(a=0\)</big> a <big>\(b \neq 0\)</big> ... přechází v Plummerův potenciál |
| - | * <big>\(a \neq 0</ | + | * <big>\(a \neq 0\)</big> a <big>\(b=0\)</big> ... přechází v Kuzminův potenciál, neboť <big>\(|z| = \sqrt{z^2}\)</big>. |
| - | Tedy pokud je <big>\(b \ll a</ | + | Tedy pokud je <big>\(b \ll a\)</big>, odpovídá to přibližně rozložení potenciálu disku s centrální výdutí (např. galaxie), pokud je <big>\(b \gg a\)</big>, dostáváme přibližně potenciál koule. |
Z Poissonovy rovnice lze odvodit hustota | Z Poissonovy rovnice lze odvodit hustota | ||
| - | <big>\(\rho_{MN}(R,z) = \left(\frac{b^2 M}{4\pi}\right) \frac{aR^2 + \left(a+3\sqrt{z^2 + b^2}\right)\left(a + \sqrt{z^2 + b^2}\right)^2}{\left[R^2 + \left(a+\sqrt{z^2 + b^2}\right)^2\right]^{5/2} \left(z^2 + b^2\right)^{3/2}}</ | + | <big>\(\rho_{MN}(R,z) = \left(\frac{b^2 M}{4\pi}\right) \frac{aR^2 + \left(a+3\sqrt{z^2 + b^2}\right)\left(a + \sqrt{z^2 + b^2}\right)^2}{\left[R^2 + \left(a+\sqrt{z^2 + b^2}\right)^2\right]^{5/2} \left(z^2 + b^2\right)^{3/2}}\)</big> |
== Související články == | == Související články == | ||
Aktuální verze z 14. 8. 2022, 14:51
Gravitační potenciál je skalární fyzikální veličina, která vyčísluje potenciální energii tělesa o jednotkové hmotnosti (v jednotkách SI 1 kg) v gravitačním poli ostatních těles. Za místo s nulovým potenciálem se obvykle bere nekonečně vzdálený bod. Hodnota gravitačního potenciálu je proto záporná.
Protože gravitační potenciál vyjadřuje měrnou energii, je jeho jednotkou v soustavě SI joule na kilogram (J/kg).
Gradientem gravitačního potenciálu je gravitační zrychlení.
Obsah |
Gravitační potenciál hmotného bodu a kulově souměrného tělesa
Gravitační potenciál hmotného bodu je v newtonovské fyzice vyjádřen vzorcem
- \(\phi(r) = -\frac{GM}{r},\)
- \(G\) je gravitační konstanta (někdy označována také \(\kappa\))
- \(M\) je hmotnost hmotného bodu
- \(r\) je vzdálenost od hmotného bodu
Stejný vzorec platí (přesně) i pro gravitační potenciál vně sféricky symetrického tělesa (nad jeho povrchem), r pak vyjadřuje vzdálenost od středu takového tělesa. Proto lze například v astronomii nahradit ve výpočtech kosmická tělesa hmotnými body.
Gravitační potenciál sféricky symetrické kulové slupky je v dutině této slupky všude stejný. Gravitační zrychlení a tedy i tíha, způsobené touto slupkou, jsou proto uvnitř nulové. To umožňuje spočítat gravitační potenciál pod povrchem planet: pro výpočet se zahrne jen hmota planety, mající větší hloubku, než místo, pro nějž se potenciál počítá (Přesně to však platí pouze tehdy, je-li v dané hloubce hustota všude stejná).
Rychlost tělesa na kruhové dráze je v tomto potenciálu rovna Keplerovské rychlosti
\(v_k=\sqrt{\frac{GM}{r}},\)
Úniková rychlost je
\(v_{esc}=\sqrt{\frac{2GM}{r}}=\sqrt{2} \ v_k.\)
Plummerův potenciál
Protože se hmotný bod špatně integruje, je nutné ho šikovně "rozmazat". Jedním ze způsobů, jak to udělat, je použít Plummerovu sféru, jejíž potenciál je
\(\phi_P(r) = -\frac{GM}{\sqrt{r^2 + b^2}},\)
kde \(b\) je parametr.
Z Poissonovy rovnice pak odvodíme funkční závislost hustoty \(\rho\) na poloměru \(r\).
\(\rho_P(r) = \frac{3M}{4\pi b^3}\left(1+\frac{r^2}{b^2}\right)^{-5/2}\)
Přičemž tato hustota jde do nekonečna, ale nediverguje.
Kuzminův potenciál
Analogie Plummerovy sféry ve válcových souřadnicích (opět "rozmazáváme" potenciál hmotného bodu).
\(\phi_K(R, z) = -\frac{GM}{\sqrt{R^2 + \left(a + |z|\right)^2}},\)
- \(R\) je vzdálenost v rovině xy
- \(a\) je parametr
- \(|z|\) je absolutní hodnota vzdálenosti ve směru osy z.
Poissonova rovnice ve válcových souřadnicích vede na povrchovou hustotu
\(\Sigma_K(R) = \frac{aM}{2\pi \left(R^2 + a^2\right)^{3/2}}.\)
Miyamoto−Nagai potenciál
Toto je zobecnění všech předchozích potenciálů.
\(\phi_{MN}(R,z) = -\frac{GM}{\sqrt{R^2 + \left(a + \sqrt{z^2 + b^2}\right)^2}}.\)
Pokud
- \(a = 0\) a \(b=0\) ... přechází v potenciál hmotného bodu, neboť \(r = \sqrt{R^2 + z^2}\)
- \(a=0\) a \(b \neq 0\) ... přechází v Plummerův potenciál
- \(a \neq 0\) a \(b=0\) ... přechází v Kuzminův potenciál, neboť \(|z| = \sqrt{z^2}\).
Tedy pokud je \(b \ll a\), odpovídá to přibližně rozložení potenciálu disku s centrální výdutí (např. galaxie), pokud je \(b \gg a\), dostáváme přibližně potenciál koule.
Z Poissonovy rovnice lze odvodit hustota
\(\rho_{MN}(R,z) = \left(\frac{b^2 M}{4\pi}\right) \frac{aR^2 + \left(a+3\sqrt{z^2 + b^2}\right)\left(a + \sqrt{z^2 + b^2}\right)^2}{\left[R^2 + \left(a+\sqrt{z^2 + b^2}\right)^2\right]^{5/2} \left(z^2 + b^2\right)^{3/2}}\)
Související články
| Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010 |
|---|
| Informace o článku.
Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. |