V sobotu 2. listopadu proběhla mohutná oslava naší plnoletosti !!
Multimediaexpo.cz je již 18 let na českém internetu !!
V tiskové zprávě k 18. narozeninám brzy najdete nové a zásadní informace.

Gravitační potenciál

Z Multimediaexpo.cz

(Rozdíly mezi verzemi)
(+ Masivní vylepšení)
m (Nahrazení textu „</math>“ textem „\)</big>“)
 
(Není zobrazena jedna mezilehlá verze.)
Řádka 7: Řádka 7:
== Gravitační potenciál hmotného bodu a kulově souměrného tělesa ==
== Gravitační potenciál hmotného bodu a kulově souměrného tělesa ==
Gravitační potenciál hmotného bodu je v newtonovské fyzice vyjádřen vzorcem  
Gravitační potenciál hmotného bodu je v newtonovské fyzice vyjádřen vzorcem  
-
:<math>\phi(r) = -\frac{GM}{r},</math>
+
:<big>\(\phi(r) = -\frac{GM}{r},\)</big>
-
* <math>G</math> je [[gravitační konstanta]] (někdy označována také <math>\kappa</math>)
+
* <big>\(G\)</big> je [[gravitační konstanta]] (někdy označována také <big>\(\kappa\)</big>)
-
* <math>M</math> je hmotnost hmotného bodu
+
* <big>\(M\)</big> je hmotnost hmotného bodu
-
* <math>r</math> je vzdálenost od hmotného bodu
+
* <big>\(r\)</big> je vzdálenost od hmotného bodu
Stejný vzorec platí (přesně) i pro gravitační potenciál vně sféricky symetrického tělesa (nad jeho povrchem), '''r''' pak vyjadřuje vzdálenost od středu takového tělesa. Proto lze například v astronomii nahradit ve výpočtech kosmická tělesa hmotnými body.
Stejný vzorec platí (přesně) i pro gravitační potenciál vně sféricky symetrického tělesa (nad jeho povrchem), '''r''' pak vyjadřuje vzdálenost od středu takového tělesa. Proto lze například v astronomii nahradit ve výpočtech kosmická tělesa hmotnými body.
Řádka 18: Řádka 18:
Rychlost tělesa na kruhové dráze je v tomto potenciálu rovna Keplerovské rychlosti
Rychlost tělesa na kruhové dráze je v tomto potenciálu rovna Keplerovské rychlosti
-
<math>v_k=\sqrt{\frac{GM}{r}},</math>
+
<big>\(v_k=\sqrt{\frac{GM}{r}},\)</big>
Úniková rychlost je
Úniková rychlost je
-
<math>v_{esc}=\sqrt{\frac{2GM}{r}}=\sqrt{2} \ v_k.</math>
+
<big>\(v_{esc}=\sqrt{\frac{2GM}{r}}=\sqrt{2} \ v_k.\)</big>
== Plummerův potenciál ==
== Plummerův potenciál ==
Protože se hmotný bod špatně integruje, je nutné ho šikovně "rozmazat". Jedním ze způsobů, jak to udělat, je použít Plummerovu sféru, jejíž potenciál je
Protože se hmotný bod špatně integruje, je nutné ho šikovně "rozmazat". Jedním ze způsobů, jak to udělat, je použít Plummerovu sféru, jejíž potenciál je
-
<math>\phi_P(r) = -\frac{GM}{\sqrt{r^2 + b^2}},</math>
+
<big>\(\phi_P(r) = -\frac{GM}{\sqrt{r^2 + b^2}},\)</big>
-
kde <math>b</math> je parametr.
+
kde <big>\(b\)</big> je parametr.
-
Z Poissonovy rovnice pak odvodíme funkční závislost hustoty <math>\rho</math> na poloměru <math>r</math>.
+
Z Poissonovy rovnice pak odvodíme funkční závislost hustoty <big>\(\rho\)</big> na poloměru <big>\(r\)</big>.
-
<math>\rho_P(r) = \frac{3M}{4\pi b^3}\left(1+\frac{r^2}{b^2}\right)^{-5/2}</math>
+
<big>\(\rho_P(r) = \frac{3M}{4\pi b^3}\left(1+\frac{r^2}{b^2}\right)^{-5/2}\)</big>
Přičemž tato hustota jde do nekonečna, ale nediverguje.
Přičemž tato hustota jde do nekonečna, ale nediverguje.
Řádka 40: Řádka 40:
Analogie Plummerovy sféry ve válcových souřadnicích (opět "rozmazáváme" potenciál hmotného bodu).
Analogie Plummerovy sféry ve válcových souřadnicích (opět "rozmazáváme" potenciál hmotného bodu).
-
<math>\phi_K(R, z) = -\frac{GM}{\sqrt{R^2 + \left(a + |z|\right)^2}},</math>
+
<big>\(\phi_K(R, z) = -\frac{GM}{\sqrt{R^2 + \left(a + |z|\right)^2}},\)</big>
-
* <math>R</math> je vzdálenost v rovině xy
+
* <big>\(R\)</big> je vzdálenost v rovině xy
-
* <math>a</math> je parametr
+
* <big>\(a\)</big> je parametr
-
* <math>|z|</math> je absolutní hodnota vzdálenosti ve směru osy z.
+
* <big>\(|z|\)</big> je absolutní hodnota vzdálenosti ve směru osy z.
Poissonova rovnice ve válcových souřadnicích vede na povrchovou hustotu
Poissonova rovnice ve válcových souřadnicích vede na povrchovou hustotu
-
<math>\Sigma_K(R) = \frac{aM}{2\pi \left(R^2 + a^2\right)^{3/2}}.</math>
+
<big>\(\Sigma_K(R) = \frac{aM}{2\pi \left(R^2 + a^2\right)^{3/2}}.\)</big>
== Miyamoto−Nagai potenciál ==
== Miyamoto−Nagai potenciál ==
Toto je zobecnění všech předchozích potenciálů.
Toto je zobecnění všech předchozích potenciálů.
-
<math>\phi_{MN}(R,z) = -\frac{GM}{\sqrt{R^2 + \left(a + \sqrt{z^2 + b^2}\right)^2}}.</math>
+
<big>\(\phi_{MN}(R,z) = -\frac{GM}{\sqrt{R^2 + \left(a + \sqrt{z^2 + b^2}\right)^2}}.\)</big>
Pokud
Pokud
-
* <math>a = 0</math> a <math>b=0</math> ... přechází v potenciál hmotného bodu, neboť <math>r = \sqrt{R^2 + z^2}</math>
+
* <big>\(a = 0\)</big> a <big>\(b=0\)</big> ... přechází v potenciál hmotného bodu, neboť <big>\(r = \sqrt{R^2 + z^2}\)</big>
-
* <math>a=0</math> a <math>b \neq 0</math> ... přechází v Plummerův potenciál
+
* <big>\(a=0\)</big> a <big>\(b \neq 0\)</big> ... přechází v Plummerův potenciál
-
* <math>a \neq 0</math> a <math>b=0</math> ... přechází v Kuzminův potenciál, neboť <math>|z| = \sqrt{z^2}</math>.
+
* <big>\(a \neq 0\)</big> a <big>\(b=0\)</big> ... přechází v Kuzminův potenciál, neboť <big>\(|z| = \sqrt{z^2}\)</big>.
-
Tedy pokud je <math>b \ll a</math>, odpovídá to přibližně rozložení potenciálu disku s centrální výdutí (např. galaxie), pokud je <math>b \gg a</math>, dostáváme přibližně potenciál koule.
+
Tedy pokud je <big>\(b \ll a\)</big>, odpovídá to přibližně rozložení potenciálu disku s centrální výdutí (např. galaxie), pokud je <big>\(b \gg a\)</big>, dostáváme přibližně potenciál koule.
Z Poissonovy rovnice lze odvodit hustota
Z Poissonovy rovnice lze odvodit hustota
-
<math>\rho_{MN}(R,z) = \left(\frac{b^2 M}{4\pi}\right) \frac{aR^2 + \left(a+3\sqrt{z^2 + b^2}\right)\left(a + \sqrt{z^2 + b^2}\right)^2}{\left[R^2 + \left(a+\sqrt{z^2 + b^2}\right)^2\right]^{5/2} \left(z^2 + b^2\right)^{3/2}}</math>
+
<big>\(\rho_{MN}(R,z) = \left(\frac{b^2 M}{4\pi}\right) \frac{aR^2 + \left(a+3\sqrt{z^2 + b^2}\right)\left(a + \sqrt{z^2 + b^2}\right)^2}{\left[R^2 + \left(a+\sqrt{z^2 + b^2}\right)^2\right]^{5/2} \left(z^2 + b^2\right)^{3/2}}\)</big>
== Související články ==
== Související články ==

Aktuální verze z 14. 8. 2022, 14:51

Gravitační potenciál je skalární fyzikální veličina, která vyčísluje potenciální energii tělesa o jednotkové hmotnosti (v jednotkách SI 1 kg) v gravitačním poli ostatních těles. Za místo s nulovým potenciálem se obvykle bere nekonečně vzdálený bod. Hodnota gravitačního potenciálu je proto záporná.

Protože gravitační potenciál vyjadřuje měrnou energii, je jeho jednotkou v soustavě SI joule na kilogram (J/kg).

Gradientem gravitačního potenciálu je gravitační zrychlení.

Obsah

Gravitační potenciál hmotného bodu a kulově souměrného tělesa

Gravitační potenciál hmotného bodu je v newtonovské fyzice vyjádřen vzorcem

\(\phi(r) = -\frac{GM}{r},\)
  • \(G\) je gravitační konstanta (někdy označována také \(\kappa\))
  • \(M\) je hmotnost hmotného bodu
  • \(r\) je vzdálenost od hmotného bodu

Stejný vzorec platí (přesně) i pro gravitační potenciál vně sféricky symetrického tělesa (nad jeho povrchem), r pak vyjadřuje vzdálenost od středu takového tělesa. Proto lze například v astronomii nahradit ve výpočtech kosmická tělesa hmotnými body.

Gravitační potenciál sféricky symetrické kulové slupky je v dutině této slupky všude stejný. Gravitační zrychlení a tedy i tíha, způsobené touto slupkou, jsou proto uvnitř nulové. To umožňuje spočítat gravitační potenciál pod povrchem planet: pro výpočet se zahrne jen hmota planety, mající větší hloubku, než místo, pro nějž se potenciál počítá (Přesně to však platí pouze tehdy, je-li v dané hloubce hustota všude stejná).

Rychlost tělesa na kruhové dráze je v tomto potenciálu rovna Keplerovské rychlosti

\(v_k=\sqrt{\frac{GM}{r}},\)

Úniková rychlost je

\(v_{esc}=\sqrt{\frac{2GM}{r}}=\sqrt{2} \ v_k.\)

Plummerův potenciál

Protože se hmotný bod špatně integruje, je nutné ho šikovně "rozmazat". Jedním ze způsobů, jak to udělat, je použít Plummerovu sféru, jejíž potenciál je

\(\phi_P(r) = -\frac{GM}{\sqrt{r^2 + b^2}},\)

kde \(b\) je parametr.

Z Poissonovy rovnice pak odvodíme funkční závislost hustoty \(\rho\) na poloměru \(r\).

\(\rho_P(r) = \frac{3M}{4\pi b^3}\left(1+\frac{r^2}{b^2}\right)^{-5/2}\)

Přičemž tato hustota jde do nekonečna, ale nediverguje.

Kuzminův potenciál

Analogie Plummerovy sféry ve válcových souřadnicích (opět "rozmazáváme" potenciál hmotného bodu).

\(\phi_K(R, z) = -\frac{GM}{\sqrt{R^2 + \left(a + |z|\right)^2}},\)

  • \(R\) je vzdálenost v rovině xy
  • \(a\) je parametr
  • \(|z|\) je absolutní hodnota vzdálenosti ve směru osy z.

Poissonova rovnice ve válcových souřadnicích vede na povrchovou hustotu

\(\Sigma_K(R) = \frac{aM}{2\pi \left(R^2 + a^2\right)^{3/2}}.\)

Miyamoto−Nagai potenciál

Toto je zobecnění všech předchozích potenciálů.

\(\phi_{MN}(R,z) = -\frac{GM}{\sqrt{R^2 + \left(a + \sqrt{z^2 + b^2}\right)^2}}.\)

Pokud

  • \(a = 0\) a \(b=0\) ... přechází v potenciál hmotného bodu, neboť \(r = \sqrt{R^2 + z^2}\)
  • \(a=0\) a \(b \neq 0\) ... přechází v Plummerův potenciál
  • \(a \neq 0\) a \(b=0\) ... přechází v Kuzminův potenciál, neboť \(|z| = \sqrt{z^2}\).

Tedy pokud je \(b \ll a\), odpovídá to přibližně rozložení potenciálu disku s centrální výdutí (např. galaxie), pokud je \(b \gg a\), dostáváme přibližně potenciál koule.

Z Poissonovy rovnice lze odvodit hustota

\(\rho_{MN}(R,z) = \left(\frac{b^2 M}{4\pi}\right) \frac{aR^2 + \left(a+3\sqrt{z^2 + b^2}\right)\left(a + \sqrt{z^2 + b^2}\right)^2}{\left[R^2 + \left(a+\sqrt{z^2 + b^2}\right)^2\right]^{5/2} \left(z^2 + b^2\right)^{3/2}}\)

Související články


Citováno z „http://ww.multimediaexpo.cz/mmecz/index.php/Gravita%C4%8Dn%C3%AD_potenci%C3%A1l“