Koeficient špičatosti

Z Multimediaexpo.cz

(Rozdíly mezi verzemi)
m (1 revizi)
m (Nahrazení textu „</math>“ textem „\)</big>“)
 
(Nejsou zobrazeny 3 mezilehlé verze.)
Řádka 1: Řádka 1:
-
{{Wikipedia-cs|Koeficient špičatosti|700}}
+
'''Koeficient špičatosti''' ('''excesu''') je [[charakteristika náhodné veličiny|charakteristika]] rozdělení [[náhodná veličina|náhodné veličiny]], která porovnává dané [[rozdělení pravděpodobnosti|rozdělení]] s [[normální rozdělení|normálním rozdělením pravděpodobnosti]].
 +
Koeficient špičatosti se obvykle označuje <big>\(\gamma_2\)</big>.
 +
 +
==Definice==
 +
Koeficient špičatosti je definován vztahem
 +
:<big>\(\gamma_2 = \frac{\mu_4}{\sigma^4} - 3 = \frac{\operatorname{E}[X-\operatorname{E}(X)]^4}{\left(\operatorname{var}\,X\right)^2} - 3\)</big>,
 +
kde <big>\(\mu_4\)</big> je čtvrtý [[centrální moment]], <big>\(\sigma\)</big> je [[směrodatná odchylka]], <big>\(\operatorname{E}(X)\)</big> označuje [[střední hodnota|střední hodnotu]] a <big>\(\operatorname{var}\,X\)</big> je [[rozptyl (statistika)|rozptyl]].
 +
==Vlastnosti==
 +
 +
[[Normální rozdělení]] má špičatost nula. Kladná špičatost značí, že většina hodnot náhodné veličiny leží blízko její [[střední hodnota|střední hodnoty]] a hlavní vliv
 +
na rozptyl mají málo pravděpodobné [[odlehlá hodnota|odlehlé hodnoty]]. Křivka [[Hustota rozdělení pravděpodobnosti|hustoty]] je špičatější, nežli u normálního rozdělení. Záporná špičatost značí, že rozdělení je rovnoměrnější a
 +
jeho křivka hustoty je plošší nežli u normálního rozdělení.
 +
 +
Špičatost rozdělení nezávisí na lineární transformaci náhodné veličiny, je tedy např. stejná pro všechna normální rozdělení.
 +
 +
==Výběrový koeficient špičatosti==
 +
 +
Výběrový koeficient špičatosti je definován vzorcem
 +
 +
:<big>\(g_2 = \frac{m_4}{m_2^2} = n\frac{\sum_{i=1}^n (x_i - \overline{x})^4}{\left(\sum_{i=1}^n (x_i - \overline{x})^2 \right)^2}\)</big>,
 +
 +
kde <big>\(\overline{x}\)</big> je [[Výběrový průměr|výběrový průměr]], <big>\(m_2\)</big> je [[výběrový rozptyl]] a <big>\(m_4\)</big> je čtvrtý [[Centrální moment#Výběrový centrální moment|výběrový centrální moment]].
 +
 +
Tento odhad je [[Vychýlený odhad|vychýlený]]. Méně vychýlené odhady dostaneme, když místo výběrových centrálních momentů použijeme nevychýlené odhady centrálních momentů:<ref>{{cite web|title=Estimating and Comparing Kurtosis and Skewness from and Arbitrary Population|url=http://www.misug.org/mifolder/LAn_Skewness_Kurtosis.pdf|publisher=Michigan SAS Users Group|accessdate=18 July 2011}}</ref>
 +
 +
<big>\(
 +
\begin{align}
 +
G_2 = \frac{M_4}{M_2^2} &= \frac{(n-1)}{(n-2)(n-3)}\left((n+1)g_2+6\right) \\
 +
b_2 = \frac{m_4}{M_2^2} &= \left(\frac{n-1}{n}\right)^2g_2 - 3
 +
\end{align}
 +
\)</big>
 +
 +
Pro rozptyly těchto odhadů platí <big>\(\operatorname{var}\,b_2 < \operatorname{var}\,g_2 < \operatorname{var}\,G_2\)</big>.
 +
 +
== Reference ==
 +
<references/>
 +
 +
 +
{{Článek z Wikipedie}}
[[Kategorie:Statistika]]
[[Kategorie:Statistika]]

Aktuální verze z 14. 8. 2022, 14:52

Koeficient špičatosti (excesu) je charakteristika rozdělení náhodné veličiny, která porovnává dané rozdělení s normálním rozdělením pravděpodobnosti.

Koeficient špičatosti se obvykle označuje \(\gamma_2\).

Obsah

Definice

Koeficient špičatosti je definován vztahem

\(\gamma_2 = \frac{\mu_4}{\sigma^4} - 3 = \frac{\operatorname{E}[X-\operatorname{E}(X)]^4}{\left(\operatorname{var}\,X\right)^2} - 3\),

kde \(\mu_4\) je čtvrtý centrální moment, \(\sigma\) je směrodatná odchylka, \(\operatorname{E}(X)\) označuje střední hodnotu a \(\operatorname{var}\,X\) je rozptyl.

Vlastnosti

Normální rozdělení má špičatost nula. Kladná špičatost značí, že většina hodnot náhodné veličiny leží blízko její střední hodnoty a hlavní vliv na rozptyl mají málo pravděpodobné odlehlé hodnoty. Křivka hustoty je špičatější, nežli u normálního rozdělení. Záporná špičatost značí, že rozdělení je rovnoměrnější a jeho křivka hustoty je plošší nežli u normálního rozdělení.

Špičatost rozdělení nezávisí na lineární transformaci náhodné veličiny, je tedy např. stejná pro všechna normální rozdělení.

Výběrový koeficient špičatosti

Výběrový koeficient špičatosti je definován vzorcem

\(g_2 = \frac{m_4}{m_2^2} = n\frac{\sum_{i=1}^n (x_i - \overline{x})^4}{\left(\sum_{i=1}^n (x_i - \overline{x})^2 \right)^2}\),

kde \(\overline{x}\) je výběrový průměr, \(m_2\) je výběrový rozptyl a \(m_4\) je čtvrtý výběrový centrální moment.

Tento odhad je vychýlený. Méně vychýlené odhady dostaneme, když místo výběrových centrálních momentů použijeme nevychýlené odhady centrálních momentů:[1]

\( \begin{align} G_2 = \frac{M_4}{M_2^2} &= \frac{(n-1)}{(n-2)(n-3)}\left((n+1)g_2+6\right) \\ b_2 = \frac{m_4}{M_2^2} &= \left(\frac{n-1}{n}\right)^2g_2 - 3 \end{align} \)

Pro rozptyly těchto odhadů platí \(\operatorname{var}\,b_2 < \operatorname{var}\,g_2 < \operatorname{var}\,G_2\).

Reference

  1. ↑ . Dostupné online.  


Citováno z „http://ww.multimediaexpo.cz/mmecz/index.php/Koeficient_%C5%A1pi%C4%8Datosti“