Kosinová věta

Z Multimediaexpo.cz

(Rozdíly mezi verzemi)
(+ Nový článek)
m (Nahrazení textu „</math>“ textem „\)</big>“)
 
(Nejsou zobrazeny 3 mezilehlé verze.)
Řádka 1: Řádka 1:
-
{{Wikipedia-cs|Kosinová věta|700}}
+
{{Upravit}}
 +
[[Soubor:Triangle - angles, vertices, sides.png|thumb|200px|Trojúhelník ABC]]
 +
V [[trigonometrie|trigonometrii]] je '''kosinová věta''' tvrzení o rovinných [[trojúhelník|trojúhelnících]], které umožňuje spočítat úhel v&nbsp;trojúhelníku na základě znalosti všech jeho tří stran.
 +
Pro každý trojúhelník ABC s&nbsp;vnitřními [[úhel|úhly]] α, β, γ a stranami ''a'', ''b'', ''c'' platí:
 +
 +
:<big>\(a^2 = b^2 + c^2 - 2 b c \cdot \cos \alpha\)</big>
 +
:<big>\(b^2 = c^2 + a^2 - 2 c a \cdot \cos \beta\)</big>
 +
:<big>\(c^2 = a^2 + b^2 - 2 a b \cdot \cos \gamma\)</big>
 +
 +
Speciálním případem kosinové věty je [[Pythagorova věta]]: pokud je úhel γ pravý, pak <big>\(\cos \gamma = 0\)</big> a tudíž <big>\(c^2 = a^2 + b^2\)</big>.
 +
 +
Větu lze mimo jiné použít v&nbsp;případě, že máme dány dvě strany trojúhelníku, úhel, který svírají, a chceme zjistit délku zbývající strany.
 +
 +
== Důkaz ==
 +
Důkaz vzorce pro zjištění strany ''a'' trojúhelníku ''ABC'' je vhodné rozdělit podle velikosti daného úhlu α (ostrý, pravý a tupý).
 +
 +
* Je-li α ostrý a bod ''P'' patou výšky ''v<sub>c</sub>'', pak bod ''P'' náleží straně ''c'' (pokud ne, prohodíme označení bodů B a C). Vzdálenost paty ''P'' od bodu ''A'' označíme ''u''. Pak podle Pythagorovy věty je
 +
: <big>\(a^2 = v_c^2 + (c-u)^2\)</big>.
 +
: Protože dále platí, že <big>\(u = b \cos \alpha\)</big> a <big>\(v_c = b \sin \alpha\)</big>, lze psát
 +
: <big>\(a^2 = (b \cdot \sin \alpha)^2 + (c - b \cdot \cos \alpha)^2\)</big>
 +
: <big>\(a^2 = b^2 \cdot \sin^2 \alpha + c^2 - 2bc \cdot \cos \alpha + b^2 \cdot \cos^2 \alpha\)</big>
 +
: <big>\(a^2 = b^2 (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) + c^2 - 2bc \cdot \cos \alpha\)</big>
 +
: <big>\(a^2 = b^2 + c^2 - 2 b c \cdot \cos \alpha\)</big>
 +
 +
* Je-li α pravý, pak podle pythagorovy věty je
 +
: <big>\( \ a^2 = b^2 + c^2\)</big>.
 +
: Protože je α = π/2, je <big>\(\cos \alpha = 0\)</big>, a pak
 +
: <big>\(a^2 = b^2 + c^2 = b^2 + c^2 - 2 b c \cdot \cos \alpha\)</big>
 +
 +
* Je-li α tupý a bod ''P'' patou výšky ''v<sub>c</sub>'', pak bod ''P'' leží mimo ''c''. Vzdálenost paty ''P'' od bodu ''A'' označíme ''u''. Pak podle Pythagorovy věty je
 +
: <big>\(a^2 = v_c^2 + (c+u)^2\)</big>
 +
: Protože dále platí, že <big>\(u = b \cos (\pi - \alpha)\)</big> a <big>\(v_c = b \sin (\pi - \alpha)\)</big> a dále <big>\(\cos (\pi - \alpha) = -\cos \alpha\)</big> a <big>\(\sin (\pi - \alpha) = \sin \alpha\)</big> lze psát
 +
: <big>\(a^2 = (b \cdot \sin \alpha)^2 + (- b \cdot \cos \alpha + c)^2\)</big>
 +
: Což je totéž, jako v případě, že je úhel α ostrý a tedy
 +
: <big>\(a^2 = b^2 + c^2 - 2 b c \cdot \cos \alpha\)</big>
 +
 +
== Související články ==
 +
* [[Kosinus]]
 +
* [[Sinová věta]]
 +
* [[Tangentová věta]]
 +
* [[Pythagorova věta]]
 +
* [[Goniometrie]]
 +
 +
 +
{{Článek z Wikipedie}}
[[Kategorie:Goniometrie]]
[[Kategorie:Goniometrie]]
[[Kategorie:Matematické věty a důkazy]]
[[Kategorie:Matematické věty a důkazy]]
[[Kategorie:Trojúhelník]]
[[Kategorie:Trojúhelník]]

Aktuální verze z 14. 8. 2022, 14:52

Broom icon.png Tento článek potřebuje úpravy. Můžete Multimediaexpo.cz pomoci tím, že ho vylepšíte.
Jak by měly články vypadat, popisují stránky Vzhled a styl a Encyklopedický styl. 		Broom icon.png
Trojúhelník ABC

V trigonometrii je kosinová věta tvrzení o rovinných trojúhelnících, které umožňuje spočítat úhel v trojúhelníku na základě znalosti všech jeho tří stran.

Pro každý trojúhelník ABC s vnitřními úhly α, β, γ a stranami a, b, c platí:

\(a^2 = b^2 + c^2 - 2 b c \cdot \cos \alpha\)
\(b^2 = c^2 + a^2 - 2 c a \cdot \cos \beta\)
\(c^2 = a^2 + b^2 - 2 a b \cdot \cos \gamma\)

Speciálním případem kosinové věty je Pythagorova věta: pokud je úhel γ pravý, pak \(\cos \gamma = 0\) a tudíž \(c^2 = a^2 + b^2\).

Větu lze mimo jiné použít v případě, že máme dány dvě strany trojúhelníku, úhel, který svírají, a chceme zjistit délku zbývající strany.

Důkaz

Důkaz vzorce pro zjištění strany a trojúhelníku ABC je vhodné rozdělit podle velikosti daného úhlu α (ostrý, pravý a tupý).

  • Je-li α ostrý a bod P patou výšky vc, pak bod P náleží straně c (pokud ne, prohodíme označení bodů B a C). Vzdálenost paty P od bodu A označíme u. Pak podle Pythagorovy věty je
\(a^2 = v_c^2 + (c-u)^2\).
Protože dále platí, že \(u = b \cos \alpha\) a \(v_c = b \sin \alpha\), lze psát
\(a^2 = (b \cdot \sin \alpha)^2 + (c - b \cdot \cos \alpha)^2\)
\(a^2 = b^2 \cdot \sin^2 \alpha + c^2 - 2bc \cdot \cos \alpha + b^2 \cdot \cos^2 \alpha\)
\(a^2 = b^2 (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) + c^2 - 2bc \cdot \cos \alpha\)
\(a^2 = b^2 + c^2 - 2 b c \cdot \cos \alpha\)
  • Je-li α pravý, pak podle pythagorovy věty je
\( \ a^2 = b^2 + c^2\).
Protože je α = π/2, je \(\cos \alpha = 0\), a pak
\(a^2 = b^2 + c^2 = b^2 + c^2 - 2 b c \cdot \cos \alpha\)
  • Je-li α tupý a bod P patou výšky vc, pak bod P leží mimo c. Vzdálenost paty P od bodu A označíme u. Pak podle Pythagorovy věty je
\(a^2 = v_c^2 + (c+u)^2\)
Protože dále platí, že \(u = b \cos (\pi - \alpha)\) a \(v_c = b \sin (\pi - \alpha)\) a dále \(\cos (\pi - \alpha) = -\cos \alpha\) a \(\sin (\pi - \alpha) = \sin \alpha\) lze psát
\(a^2 = (b \cdot \sin \alpha)^2 + (- b \cdot \cos \alpha + c)^2\)
Což je totéž, jako v případě, že je úhel α ostrý a tedy
\(a^2 = b^2 + c^2 - 2 b c \cdot \cos \alpha\)

Související články


Citováno z „http://ww.multimediaexpo.cz/mmecz/index.php/Kosinov%C3%A1_v%C4%9Bta“