Kosinová věta

Z Multimediaexpo.cz

Verze z 30. 10. 2012, 17:34 (zobrazit zdroj) Sysop (diskuse | příspěvky) (+ Nový článek) ← Porovnání se starší verzí		Aktuální verze z 14. 8. 2022, 14:52 (zobrazit zdroj) Sysop (diskuse | příspěvky) m (Nahrazení textu „</math>“ textem „\)</big>“)
(Nejsou zobrazeny 3 mezilehlé verze.)
Řádka 1:		Řádka 1:
-	{{Wikipedia-cs|Kosinová věta|700}}	+	{{Upravit}}
		+	[[Soubor:Triangle - angles, vertices, sides.png|thumb|200px|Trojúhelník ABC]]
		+	V [[trigonometrie|trigonometrii]] je '''kosinová věta''' tvrzení o rovinných [[trojúhelník|trojúhelnících]], které umožňuje spočítat úhel v&nbsp;trojúhelníku na základě znalosti všech jeho tří stran.
		+	Pro každý trojúhelník ABC s&nbsp;vnitřními [[úhel|úhly]] α, β, γ a stranami ''a'', ''b'', ''c'' platí:
		+
		+	:<big>$a^2=b^2+c^2-2bc\cdot \cos \alpha$</big>
		+	:<big>$b^2=c^2+a^2-2ca\cdot \cos \beta$</big>
		+	:<big>$c^2=a^2+b^2-2ab\cdot \cos \gamma$</big>
		+
		+	Speciálním případem kosinové věty je [[Pythagorova věta]]: pokud je úhel γ pravý, pak <big>$\cos \gamma =0$</big> a tudíž <big>$c^2=a^2+b^2$</big>.
		+
		+	Větu lze mimo jiné použít v&nbsp;případě, že máme dány dvě strany trojúhelníku, úhel, který svírají, a chceme zjistit délku zbývající strany.
		+
		+	== Důkaz ==
		+	Důkaz vzorce pro zjištění strany ''a'' trojúhelníku ''ABC'' je vhodné rozdělit podle velikosti daného úhlu α (ostrý, pravý a tupý).
		+
		+	* Je-li α ostrý a bod ''P'' patou výšky ''v<sub>c</sub>'', pak bod ''P'' náleží straně ''c'' (pokud ne, prohodíme označení bodů B a C). Vzdálenost paty ''P'' od bodu ''A'' označíme ''u''. Pak podle Pythagorovy věty je
		+	: <big>$a^2=v_c^2+(c-u{)}^2$</big>.
		+	: Protože dále platí, že <big>$u=b\cos \alpha$</big> a <big>$v_c=b\sin \alpha$</big>, lze psát
		+	: <big>$a^2=(b\cdot \sin \alpha {)}^2+(c-b\cdot \cos \alpha {)}^2$</big>
		+	: <big>$a^2=b^2\cdot {\sin }^2\alpha +c^2-2bc\cdot \cos \alpha +b^2\cdot {\cos }^2\alpha$</big>
		+	: <big>$a^2=b^2({\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha )+c^2-2bc\cdot \cos \alpha$</big>
		+	: <big>$a^2=b^2+c^2-2bc\cdot \cos \alpha$</big>
		+
		+	* Je-li α pravý, pak podle pythagorovy věty je
		+	: <big>$a^2=b^2+c^2$</big>.
		+	: Protože je α = π/2, je <big>$\cos \alpha =0$</big>, a pak
		+	: <big>$a^2=b^2+c^2=b^2+c^2-2bc\cdot \cos \alpha$</big>
		+
		+	* Je-li α tupý a bod ''P'' patou výšky ''v<sub>c</sub>'', pak bod ''P'' leží mimo ''c''. Vzdálenost paty ''P'' od bodu ''A'' označíme ''u''. Pak podle Pythagorovy věty je
		+	: <big>$a^2=v_c^2+(c+u{)}^2$</big>
		+	: Protože dále platí, že <big>$u=b\cos (\pi -\alpha )$</big> a <big>$v_c=b\sin (\pi -\alpha )$</big> a dále <big>$\cos (\pi -\alpha )=-\cos \alpha$</big> a <big>$\sin (\pi -\alpha )=\sin \alpha$</big> lze psát
		+	: <big>$a^2=(b\cdot \sin \alpha {)}^2+(-b\cdot \cos \alpha +c{)}^2$</big>
		+	: Což je totéž, jako v případě, že je úhel α ostrý a tedy
		+	: <big>$a^2=b^2+c^2-2bc\cdot \cos \alpha$</big>
		+
		+	== Související články ==
		+	* [[Kosinus]]
		+	* [[Sinová věta]]
		+	* [[Tangentová věta]]
		+	* [[Pythagorova věta]]
		+	* [[Goniometrie]]
		+
		+
		+	{{Článek z Wikipedie}}
	[[Kategorie:Goniometrie]]		[[Kategorie:Goniometrie]]
	[[Kategorie:Matematické věty a důkazy]]		[[Kategorie:Matematické věty a důkazy]]
	[[Kategorie:Trojúhelník]]		[[Kategorie:Trojúhelník]]

---

Aktuální verze z 14. 8. 2022, 14:52

Tento článek potřebuje úpravy. Můžete Multimediaexpo.cz pomoci tím, že ho vylepšíte. Jak by měly články vypadat, popisují stránky Vzhled a styl a Encyklopedický styl.

V trigonometrii je kosinová věta tvrzení o rovinných trojúhelnících, které umožňuje spočítat úhel v trojúhelníku na základě znalosti všech jeho tří stran.

Pro každý trojúhelník ABC s vnitřními úhly α, β, γ a stranami a, b, c platí:

$a^2=b^2+c^2-2bc\cdot \cos \alpha$

$b^2=c^2+a^2-2ca\cdot \cos \beta$

$c^2=a^2+b^2-2ab\cdot \cos \gamma$

Speciálním případem kosinové věty je Pythagorova věta: pokud je úhel γ pravý, pak $\cos \gamma =0$ a tudíž $c^2=a^2+b^2$.

Větu lze mimo jiné použít v případě, že máme dány dvě strany trojúhelníku, úhel, který svírají, a chceme zjistit délku zbývající strany.

Důkaz

Důkaz vzorce pro zjištění strany a trojúhelníku ABC je vhodné rozdělit podle velikosti daného úhlu α (ostrý, pravý a tupý).

• Je-li α ostrý a bod P patou výšky v_c, pak bod P náleží straně c (pokud ne, prohodíme označení bodů B a C). Vzdálenost paty P od bodu A označíme u. Pak podle Pythagorovy věty je

$a^2=v_c^2+(c-u{)}^2$.

Protože dále platí, že $u=b\cos \alpha$ a $v_c=b\sin \alpha$, lze psát

$a^2=(b\cdot \sin \alpha {)}^2+(c-b\cdot \cos \alpha {)}^2$

$a^2=b^2\cdot {\sin }^2\alpha +c^2-2bc\cdot \cos \alpha +b^2\cdot {\cos }^2\alpha$

$a^2=b^2({\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha )+c^2-2bc\cdot \cos \alpha$

$a^2=b^2+c^2-2bc\cdot \cos \alpha$

• Je-li α pravý, pak podle pythagorovy věty je

$a^2=b^2+c^2$.

Protože je α = π/2, je $\cos \alpha =0$, a pak

$a^2=b^2+c^2=b^2+c^2-2bc\cdot \cos \alpha$

• Je-li α tupý a bod P patou výšky v_c, pak bod P leží mimo c. Vzdálenost paty P od bodu A označíme u. Pak podle Pythagorovy věty je

$a^2=v_c^2+(c+u{)}^2$

Protože dále platí, že $u=b\cos (\pi -\alpha )$ a $v_c=b\sin (\pi -\alpha )$ a dále $\cos (\pi -\alpha )=-\cos \alpha$ a $\sin (\pi -\alpha )=\sin \alpha$ lze psát

$a^2=(b\cdot \sin \alpha {)}^2+(-b\cdot \cos \alpha +c{)}^2$

Což je totéž, jako v případě, že je úhel α ostrý a tedy

$a^2=b^2+c^2-2bc\cdot \cos \alpha$

Související články

• Kosinus
• Sinová věta
• Tangentová věta
• Pythagorova věta
• Goniometrie

[zobrazit] Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010
Informace o článku. Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. Tento text je dostupný za podmínek Creative Commons 3.0 Unported – creativecommons.org. Originální článek na české Wikipedii