Logaritmus

Z Multimediaexpo.cz

Aktuální verze z 14. 8. 2022, 14:52

Logaritmická funkce je matematická funkce, která je inverzní k exponenciální funkci. Logaritmus kladného reálného čísla x při základu a (a ∈ R⁺- {1} ) je takové reálné číslo

\(y = \log_a x \,\!\),

pro které platí

\(a^y = x \,\!\).

V tomto vztahu se číslo a označuje jako základ logaritmu (báze), logaritmované číslo x se někdy označuje jako numerus, y je pak logaritmem čísla x při základu a.

Graf logaritmické funkce o základu e

Vlastnosti logaritmů

• \(a^{\log_a x} = \log_a{a^x} = x \,\!\) (Logaritmus je inverzní funkcí k exponenciální funkci o stejném základu.)
• \(\log_b (ac) = \log_b a + \log_b c \,\!\) (Logaritmus součinu je součet logaritmů jednotlivých činitelů.)
• \(\log_b \frac{a}{c} = \log_b a - \log_b c \,\!\) (Logaritmus podílu je rozdíl logaritmů čitatele a jmenovatele.)
• \(\log_b a^r = r \log_b a \,\!\) (tzn. \(log_b \sqrt[n]{a} = \frac{1}{n}\log_b a \,\!\); logaritmus mocniny je roven exponent krát logaritmus základu)
• \(\log_b b = 1 \,\!\)
• \(\log_b 1 = 0 \,\!\)
• \(\log_a x = \frac{\log_b x}{\log_b a} = {\log_a b}\;{\log_b x} \,\!\)
• \(\log_a x = \frac{\log x}{\log a} = \frac{\ln x}{\ln a} \,\!\) (Formule umožňující vyčíslit logaritmus libovolného základu pomocí kalkulačky, případně logaritmických tabulek)

Několik užitečných odvození a důsledků

• \(a = a^{\frac{\log_a b}{\log_a b}} = (a^{log_a b})^{\frac{1}{log_a b}} = b^{\frac{1}{log_a b}} \,\!\)
• \(\log_b a = \frac{1}{\log_a b} \,\!\)
• \(\log_b x = \log_b (y^{\log_y x}) = {\log_y x}\;{log_b y} \,\!\)
• \(a^x = b^{\frac{x}{log_a b}} = b^{{x}\;{log_b a}} \,\!\)

Vlastnosti logaritmických funkcí

Pro každou logaritmickou funkci \(y = log_{a}x\) platí:

• je prostá
• pro a > 1 je rostoucí, pro a ∈ (0; 1) je klesající
• \(f(1) = 0\) (graf funkce prochází bodem [1;0])
• osa y je asymptotou grafu

Logaritmus komplexního čísla

Často je potřeba vypočítat přirozený logaritmus komplexního čísla. Platí:

\(\ln z=\ln \left(x+ i y\right) = \ln r e^{i\phi} = \ln r + i \phi\)

Byl zde použit exponenciální tvar komplexního čísla. Proměnná \(r=|z|\) udává absolutní hodnotu komplexního čísla a \(\phi\) udává argument komplexního čísla.

Máme-li tedy komplexní číslo, pak reálná část jeho logaritmu je rovna logaritmu absolutní hodnoty, zatímco imaginární udává argument (úhel). Je nutno uvést, že úhel komplexního čísla není definován jednoznačně, může se lišit o násobky \(2\pi\). Proto se někdy zavádí tzv. hlavní hodnota logaritmu, značíme Ln, u které se většinou uvažují úhly z intervalu \((-\pi,\pi \rangle \).

Využití

Výpočty

Pomocí výše uvedených rovností lze složitější operace převádět na jednodušší (násobení a dělení na sčítání a odčítání, mocnění a odmocniny na násobení a dělení), což se zvláště před rozšířením elektronických kalkulaček a počítačů využívalo při složitějších výpočtech prováděných ručně nebo mechanickými kalkulátory (které obvykle uměly jen sčítat). Pro usnadnění přepočtů existovaly logaritmické tabulky s předvypočítanými hodnotami logaritmů, případně logaritmické pravítko, mechanická pomůcka pro výpočty pomocí logaritmů.

Příkladem využití logaritmů je výpočet 17300 · √15478 pomocí tabulek logaritmů:

1. Nejprve se celá rovnice zlogaritmuje: \(\log x = \log (17300 \cdot \sqrt{15478})\)
2. Pomocí rovností o logaritmech se rovnice rozloží na jednodušší části: \(\log x = \log 17300 + \frac{1}{2} \log 15478\)
3. V tabulkách se vyhledají příslušné logaritmy (tabulky ovšem obsahují hodnoty jen na několik platných číslic):
   • log 17300 ≅ 4,238
   • log 15478 ≅ log 15480 ≅ 4,1898
4. Vypočte se výsledek logaritmovaného výrazu: log x = 4,238 + 2,0949 = 6,3329
5. Rovnice se zpětně umocní podle daného základu, výsledek se v tabulce dohledá zpětně: 10^6,3329 ≅ 2152000.
6. Nalezený výsledek: 17300 * √15478 ≅ 2152000 (přesnější výsledek spočtený na dnešní kalkulačce je 2152303.56, t.j. odchylka 0.014 %).

Mimo matematiku

Logaritmy se objevují také v mnoha vědeckých oborech pro vyjádření závislosti na exponentu. Příkladem je jednotka decibel, vyjadřování hvězdné velikosti či v chemii vyjadřování kyselosti roztoků pomocí pH.

Logaritmická stupnice

Některé veličiny nabývají výrazného rozpětí hodnot, až několika řádů. Příkladem může být koncentrace kationtů H₃O⁺ v roztoku:

Je zřejmé, že při zobrazení těchto hodnot na číselné ose bude pivo přibližně 43× blíže k nule než ocet (0,0013/0,00003), mléko bude 100× blíže k nule než pivo (0,00003/0,0000003) a ostatní hodnoty také budou „namačkány“ v těsné blízkosti nuly. Přestože například koncentrace H₃O⁺ v mléku je stále 100000× (o pět dekadických řádů) vyšší než ve čpavku.

V takovém případě je výhodnější místo samotné koncentrace zobrazovat její logaritmus, tedy volně řečeno „řád koncentrace“. Tabulka po zlogaritmování bude vypadat následovně.

Je vidět, že takto upravené hodnoty jsou celkem rozumně rozloženy mezi -11,5 a nulou. Na závěr dodejme, že pH je definováno přibližně takto, pouze logaritmus koncentrace je uváděn bez znaménka. (Koncentrace je vždy menší nebo rovna 1, proto logaritmus koncentrace bude vždy menší nebo roven 0.)

Speciální báze

Desítkový logaritmus

U logaritmu o základu 10 (nazývaného desítkový či dekadický logaritmus, příp. Briggsův podle Henryho Briggse) se ve značení vynechává základ a píše se jen prostě log x, někdy se používá také speciální značení lg x. Je třeba si však dát pozor: použité značení se může v různých odborných literaturách lišit. lg x se běžně využívá ve významu \(\log_2 x \,\!\) a ne \(\log_{10} x \,\!\).

Přirozený logaritmus

Logaritmus o základu e (\(\log_{e} x \,\!\)) se označuje jako přirozený logaritmus (někdy také Napierův podle Johna Napiera) a značí se \(\ln x \,\!\) (logaritmus naturalis, latinsky přirozený logaritmus). Vznikl tak, že se hledal základ exponenciální funkce, tak aby tečnou této exponenciály v bodě A=(0,1) byla přímka y = x + 1. Byl nalezen základ, nazván byl e (Eulerovo číslo), podle Leonharda Eulera, který se podílel na objevu tohoto čísla.

Binární logaritmus

Hlavně v informatice se objevuje logaritmus o základu dva (binární logaritmus), který je v příslušném kontextu někdy značen \(\lg x \,\!\), případně lb x.

Platí že: log₂(n) = ln(n)/ln(2) = log(n)/log(2)

Např.: Při binárním vyhledávání v setříděném seznamu, který má n položek, je potřeba maximálně \(log_{2}(n)\) kroků k nalezení hledané hodnoty. Tato technika je totiž založena na půlení intervalů.

Taylorova řada pro logaritmus

Pomocí vztahu pro Taylorův rozvoj, případně zintegrováním geometrické řady

\(\frac{1}{1+x}=1-x+x^2-x^3+x^4-\cdots\)

lze obdržet rozvoj logaritmu do řady kolem 1.

\(\ln (1+x) = x - \frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+ \cdots\)

Tato řada má poloměr konvergence 1, řada přitom konverguje i pro krajní bod x=1, kde obdržíme známou řadu pro \(\ln 2\) (harmonická řada s oscilujícími znaménky):

\(\ln 2 = 1 - \frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+ \cdots\)

Řadu pro logaritmus můžeme vyjádřit i pro komplexní číslo x=iy. Pak z předchozího víme, že jednak platí:

\(\ln (1+iy)= \ln \sqrt{1+y^2} +i \arctan y\)

Stejně tak můžeme tento výraz vyjádřit pomocí řady:

\(\ln (1+iy) = iy + \frac{y^2}{2}-\frac{i y^3}{3}-\frac{y^4}{4}+\cdots\)

Porovnáním imaginárních částí získáváme řadu pro \(\arctan\):

\(\arctan y = y - \frac{y^3}{3}+\frac{y^5}{5}-\cdots\)

Speciálně dosazením y=1 dostaneme nejslavnější řadu pro Ludolfovo číslo:

\(\frac{\pi}{4}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\cdots\)

Tato řada, i přes svou krásu, konverguje velmi pomalu.

Externí odkazy

• Logaritmus v encyklopedii MathWorld (anglicky)
• Logaritmické tabulky čísel od 1 000 000 do 9 999 999 (česky)