Nerovnice

Z Multimediaexpo.cz

(Rozdíly mezi verzemi)

Verze z 14. 8. 2022, 14:52

Uvažujme dvě funkce \(L(x), P(x)\), které jsou definovány na nějaké množině \(D\). Zápis

\(L(x) > P(x)\)

resp.

\(L(x) \geq P(x)\)

resp.

\(L(x) < P(x)\)

resp.

\(L(x) \le P(x)\)

se nazývá nerovnicí o jedné neznámé \(x\). Funkce \(L(x)\) se nazývá levá strana nerovnice a \(P(x)\) se nazývá pravá strana nerovnice. Vztah obou stran nerovnice (relaci) určuje znaménko nerovnosti, které se v nerovnici vyskytuje právě jednou.

Klasifikace řešení

Řešením nerovnice je taková množina všech \(x \in D\), která splňuje výše uvedenou relaci obou stran nerovnice. V oboru reálných čísel může mít nerovnice tato řešení:

prázdná množina: nerovnice nemá řešení; např. \(x^2 < 0\), řešení: \(x\in\empty\)
jedna nebo více diskrétních hodnot: kořen rovnice \(L(x) = P(x)\); např. \(\cos x \ge 1\), řešení: \(x = 2 \pi k\), \(k\in\mathbb{Z}\)
interval: všechny typy intervalů; např. \(x^2 -1 \le 0\), řešení: \(x \in \lang -1, 1 \rang \)
sjednocení intervalů: např. \(4 - x^2 < 0 \), řešení: \(x \in ( -\infty, -2 ) \cup ( 2, \infty)\)

Početní postup řešení

Při hledání řešení nerovnice postupujeme obdobně jako při řešení rovnice: ekvivalentními úpravami se snažíme nerovnici převést na jednodušší tvar, z něhož jsme schopni určit řešení nerovnice.

Při řešení nerovnic se často využívá, že pro dvě čísla \(a, b\) platí, že pokud \(a b > 0\), pak je buď \(a > 0\) a \(b > 0\) nebo \(a < 0\) a \(b < 0\). Často se také využívá skutečnosti, že pro \(a > b\) platí \(\frac{1}{a} < \frac{1}{b}\).

Je třeba mít na paměti, že úpravy nerovnice mají, na rozdíl od úprav rovnic, vliv také na relaci obou stran nerovnice. Např. pokud nerovnici \(-2 x > -1\) vynásobíme \(-1\), dostaneme nerovnici \(2 x < 1\), tzn. došlo ke změně > na <.

Grafické řešení

U nerovnic se často užívá grafické řešení, neboť je názorné. Známe-li totiž kořeny rovnice \(f(x) = 0\), můžeme je využít při řešení nerovnice \(f(x) > 0\), neboť kořeny určují krajní body intervalů, které jsou řešením nerovnice. Grafické řešení pomáhá rychle určit, které z intervalů jsou řešením a které nikoli.

Rozdělení

Podobně jako u rovnic lze také nerovnice rozdělit na algebraické a nealgebraické.

Související články

Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010
Informace o článku. Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. Tento text je dostupný za podmínek Creative Commons 3.0 Unported – creativecommons.org. Originální článek na české Wikipedii

@@ Řádka 1: / Řádka 1: @@
-Uvažujme dvě [[funkce (matematika)|funkce]] <big>\(L(x), P(x)</math>, které jsou [[definiční obor|definovány]] na nějaké [[množina|množině]] <big>\(D</math>. Zápis
+Uvažujme dvě [[funkce (matematika)|funkce]] <big>\(L(x), P(x)\)</big>, které jsou [[definiční obor|definovány]] na nějaké [[množina|množině]] <big>\(D\)</big>. Zápis
-:<big>\(L(x) > P(x)</math>
+:<big>\(L(x) > P(x)\)</big>
 resp.
-:<big>\(L(x) \geq P(x)</math>
+:<big>\(L(x) \geq P(x)\)</big>
 resp.
-:<big>\(L(x) < P(x)</math>
+:<big>\(L(x) < P(x)\)</big>
 resp.
-:<big>\(L(x) \le P(x)</math>
+:<big>\(L(x) \le P(x)\)</big>
-se nazývá '''nerovnicí''' o jedné neznámé <big>\(x</math>. Funkce <big>\(L(x)</math> se nazývá ''levá strana nerovnice'' a <big>\(P(x)</math> se nazývá ''pravá strana nerovnice''. Vztah obou stran nerovnice (relaci) určuje ''znaménko [[nerovnost (matematika)|nerovnosti]]'', které se v nerovnici vyskytuje právě jednou.
+se nazývá '''nerovnicí''' o jedné neznámé <big>\(x\)</big>. Funkce <big>\(L(x)\)</big> se nazývá ''levá strana nerovnice'' a <big>\(P(x)\)</big> se nazývá ''pravá strana nerovnice''. Vztah obou stran nerovnice (relaci) určuje ''znaménko [[nerovnost (matematika)|nerovnosti]]'', které se v nerovnici vyskytuje právě jednou.
 == Klasifikace řešení ==
-Řešením nerovnice je taková množina všech <big>\(x \in D</math>, která splňuje výše uvedenou relaci obou stran nerovnice. V oboru reálných čísel může mít nerovnice tato řešení:
+Řešením nerovnice je taková množina všech <big>\(x \in D\)</big>, která splňuje výše uvedenou relaci obou stran nerovnice. V oboru reálných čísel může mít nerovnice tato řešení:
-* '''prázdná množina''': nerovnice nemá řešení; např. <big>\(x^2 < 0</math>, řešení: <big>\(x\in\empty</math>
+* '''prázdná množina''': nerovnice nemá řešení; např. <big>\(x^2 < 0\)</big>, řešení: <big>\(x\in\empty\)</big>
-* '''jedna nebo více diskrétních hodnot''': kořen rovnice <big>\(L(x) = P(x)</math>; např. <big>\(\cos x \ge 1</math>, řešení: <big>\(x = 2 \pi k</math>, <big>\(k\in\mathbb{Z}</math>
+* '''jedna nebo více diskrétních hodnot''': kořen rovnice <big>\(L(x) = P(x)\)</big>; např. <big>\(\cos x \ge 1\)</big>, řešení: <big>\(x = 2 \pi k\)</big>, <big>\(k\in\mathbb{Z}\)</big>
-* '''interval''': všechny typy [[interval (matematika)|intervalů]]; např. <big>\(x^2 -1 \le 0</math>, řešení: <big>\(x \in \lang -1, 1 \rang </math>
+* '''interval''': všechny typy [[interval (matematika)|intervalů]]; např. <big>\(x^2 -1 \le 0\)</big>, řešení: <big>\(x \in \lang -1, 1 \rang \)</big>
-* '''sjednocení intervalů''': např. <big>\(4 - x^2 < 0 </math>, řešení: <big>\(x \in ( -\infty, -2 ) \cup ( 2, \infty)</math>
+* '''sjednocení intervalů''': např. <big>\(4 - x^2 < 0 \)</big>, řešení: <big>\(x \in ( -\infty, -2 ) \cup ( 2, \infty)\)</big>
 == Početní postup řešení ==
@@ Řádka 22: / Řádka 22: @@
 Při hledání řešení nerovnice postupujeme obdobně jako při řešení rovnice: [[Rovnice|ekvivalentními úpravami]] se snažíme nerovnici převést na jednodušší tvar, z něhož jsme schopni určit řešení nerovnice.
-Při řešení nerovnic se často využívá, že pro dvě čísla <big>\(a, b</math> platí, že pokud <big>\(a b > 0</math>, pak je buď <big>\(a > 0</math> a <big>\(b > 0</math> nebo <big>\(a < 0</math> a <big>\(b < 0</math>. Často se také využívá skutečnosti, že pro <big>\(a > b</math> platí <big>\(\frac{1}{a} < \frac{1}{b}</math>.
+Při řešení nerovnic se často využívá, že pro dvě čísla <big>\(a, b\)</big> platí, že pokud <big>\(a b > 0\)</big>, pak je buď <big>\(a > 0\)</big> a <big>\(b > 0\)</big> nebo <big>\(a < 0\)</big> a <big>\(b < 0\)</big>. Často se také využívá skutečnosti, že pro <big>\(a > b\)</big> platí <big>\(\frac{1}{a} < \frac{1}{b}\)</big>.
-Je třeba mít na paměti, že úpravy nerovnice mají, na rozdíl od úprav rovnic, vliv také na [[Relace (matematika)|relaci]] obou stran nerovnice. Např. pokud nerovnici <big>\(-2 x > -1</math> vynásobíme <big>\(-1</math>, dostaneme nerovnici <big>\(2 x < 1</math>, tzn. došlo ke změně > na <.
+Je třeba mít na paměti, že úpravy nerovnice mají, na rozdíl od úprav rovnic, vliv také na [[Relace (matematika)|relaci]] obou stran nerovnice. Např. pokud nerovnici <big>\(-2 x > -1\)</big> vynásobíme <big>\(-1\)</big>, dostaneme nerovnici <big>\(2 x < 1\)</big>, tzn. došlo ke změně > na <.
 == Grafické řešení ==
-U nerovnic se často užívá grafické řešení, neboť je názorné. Známe-li totiž [[Kořen rovnice|kořeny rovnice]] <big>\(f(x) = 0</math>, můžeme je využít při řešení nerovnice <big>\(f(x) > 0</math>, neboť kořeny určují krajní body [[interval (matematika)|intervalů]], které jsou řešením nerovnice. Grafické řešení pomáhá rychle určit, které z intervalů jsou řešením a které nikoli.
+U nerovnic se často užívá grafické řešení, neboť je názorné. Známe-li totiž [[Kořen rovnice|kořeny rovnice]] <big>\(f(x) = 0\)</big>, můžeme je využít při řešení nerovnice <big>\(f(x) > 0\)</big>, neboť kořeny určují krajní body [[interval (matematika)|intervalů]], které jsou řešením nerovnice. Grafické řešení pomáhá rychle určit, které z intervalů jsou řešením a které nikoli.
 == Rozdělení ==