V sobotu 2. listopadu proběhla mohutná oslava naší plnoletosti !!
Multimediaexpo.cz je již 18 let na českém internetu !!

Newtonův integrál

Z Multimediaexpo.cz

(Rozdíly mezi verzemi)
m (1 revizi)
m (Nahrazení textu „</math>“ textem „\)</big>“)
 
(Nejsou zobrazeny 3 mezilehlé verze.)
Řádka 1: Řádka 1:
-
{{Wikipedia-cs|Newtonův integrál|700}}
+
'''Newtonův [[integrál]]''' představuje definici [[určitý integrál|určitého integrálu]], která je založena na existenci [[primitivní funkce]]. Pod pojmem Newtonův integrál se často rozumí i související pojem [[neurčitý integrál]] (primitivní funkce), zatímco pro odvozený výpočet [[určitý integrál|určitého integrálu]] se používá pojem výpočet podle Newtonova-Leibnizova vzorce. Primitivní funkce může z definice existovat pouze pro funkci jedné proměnné, ale Newtonův vzorec lze aplikovat i ve vícerozměrných integrálech.
 +
 +
==Definice==
 +
Pokud je funkce [[funkce (matematika)|funkce]] <big>\(f(x)\)</big> [[spojitost|spojitá]] na [[interval (matematika)|intervalu]] <big>\(\langle a,b\rangle\)</big>, a funkce <big>\(F(x)\)</big> je k ní na <big>\(\langle a,b\rangle\)</big> primitivní, pak platí.
 +
:<big>\(\int_a^b f(x) \mathrm{d}x = F(b)-F(a)\)</big>
 +
 +
 +
Tento vztah bývá též označován jako ''[[Isaac Newton|Newton]]-[[Gottfried Leibniz|Leibnizova]] formule'', popř. se o něm také hovoří jako o ''základní větě [[integrální počet|integrálního počtu]]''.
 +
 +
Newtonova definice určitého integrálu požaduje spojitost funkce na daném intervalu. Pokud není funkce na intervalu spojitá v konečně mnoha bodech, lze interval v bodech nespojitosti rozdělit a hledat primitivní funkce po částech. Pro tento případ je ještě potřeba definovat takzvaný "zobecněný Newtonův integrál", který je v případě nespojitosti primitivní funkce v krajních bodech definován jako rozdíl [[jednostranná limita|jednostranných krajních limit]]. Tedy:
 +
 +
:<big>\(\int_a^b f(x) \mathrm{d}x = \lim_{x\to b^-} F(x)-\lim_{x\to a^+} F(x)\)</big>
 +
 +
==Zápis==
 +
Vzhledem k tomu, že <big>\(F(x)\)</big> je primitivní funkcí k <big>\(f(x)\)</big>, používáme obvykle při výpočtu zápis
 +
:<big>\(\int_a^b f(x) \mathrm{d}x = {[F(x)]}_a^b = {F(x)|}_a^b = F(b)-F(a)\)</big>
 +
 +
==Historie==
 +
 +
Pojem primitivní funkce, jakož i objevení Newtonova-Leibnizova vzorce je připisován Gottfriedu Wilhelmovi Leibnizovi na podzim roku 1675 a Isaacu&nbsp;Newtonovi roku 1666. I když se vedly o autorství objevu celého [[Diferenciální počet|diferenciálního počtu]] rozepře, oba matematici objev učinili zřejmě nezávisle na sobě.
 +
 +
Jejich snaha byla zjistit obecný vzorec pro výpočet plochy pod křivkou. V případě Isaaca Newtona byla tato snaha motivována i využitím v [[mechanika|mechanice]]. V&nbsp;19.&nbsp;století se při snaze eliminovat nejasně definované pojmy [[infinitezimální hodnota|infinitesimálních veličin]] Leibnize a Newtona rozvinula metoda založená na limitě přibližných součtů, dnes nazývaná [[Riemannův integrál]]. Na počátku dvacátého století pak vznikla teorie obecného integrálu, nazývaná [[Lebesgueův integrál|integrálem Lebesgueovým]].
 +
 +
== Související články ==
 +
* [[Primitivní funkce]]
 +
* [[Riemannův integrál]]
 +
* [[Lebesgueův integrál]]
 +
* [[Kurzweilův integrál]]
 +
 +
 +
{{Článek z Wikipedie}}
[[Kategorie:Integrální počet]]
[[Kategorie:Integrální počet]]

Aktuální verze z 14. 8. 2022, 14:52

Newtonův integrál představuje definici určitého integrálu, která je založena na existenci primitivní funkce. Pod pojmem Newtonův integrál se často rozumí i související pojem neurčitý integrál (primitivní funkce), zatímco pro odvozený výpočet určitého integrálu se používá pojem výpočet podle Newtonova-Leibnizova vzorce. Primitivní funkce může z definice existovat pouze pro funkci jedné proměnné, ale Newtonův vzorec lze aplikovat i ve vícerozměrných integrálech.


Obsah

Definice

Pokud je funkce funkce \(f(x)\) spojitá na intervalu \(\langle a,b\rangle\), a funkce \(F(x)\) je k ní na \(\langle a,b\rangle\) primitivní, pak platí.

\(\int_a^b f(x) \mathrm{d}x = F(b)-F(a)\)


Tento vztah bývá též označován jako Newton-Leibnizova formule, popř. se o něm také hovoří jako o základní větě integrálního počtu.

Newtonova definice určitého integrálu požaduje spojitost funkce na daném intervalu. Pokud není funkce na intervalu spojitá v konečně mnoha bodech, lze interval v bodech nespojitosti rozdělit a hledat primitivní funkce po částech. Pro tento případ je ještě potřeba definovat takzvaný "zobecněný Newtonův integrál", který je v případě nespojitosti primitivní funkce v krajních bodech definován jako rozdíl jednostranných krajních limit. Tedy:

\(\int_a^b f(x) \mathrm{d}x = \lim_{x\to b^-} F(x)-\lim_{x\to a^+} F(x)\)

Zápis

Vzhledem k tomu, že \(F(x)\) je primitivní funkcí k \(f(x)\), používáme obvykle při výpočtu zápis

\(\int_a^b f(x) \mathrm{d}x = {[F(x)]}_a^b = {F(x)|}_a^b = F(b)-F(a)\)

Historie

Pojem primitivní funkce, jakož i objevení Newtonova-Leibnizova vzorce je připisován Gottfriedu Wilhelmovi Leibnizovi na podzim roku 1675 a Isaacu Newtonovi roku 1666. I když se vedly o autorství objevu celého diferenciálního počtu rozepře, oba matematici objev učinili zřejmě nezávisle na sobě.

Jejich snaha byla zjistit obecný vzorec pro výpočet plochy pod křivkou. V případě Isaaca Newtona byla tato snaha motivována i využitím v mechanice. V 19. století se při snaze eliminovat nejasně definované pojmy infinitesimálních veličin Leibnize a Newtona rozvinula metoda založená na limitě přibližných součtů, dnes nazývaná Riemannův integrál. Na počátku dvacátého století pak vznikla teorie obecného integrálu, nazývaná integrálem Lebesgueovým.

Související články


Citováno z „http://ww.multimediaexpo.cz/mmecz/index.php/Newton%C5%AFv_integr%C3%A1l“