Newtonův integrál

Z Multimediaexpo.cz

(Rozdíly mezi verzemi)

Aktuální verze z 14. 8. 2022, 14:52

Newtonův integrál představuje definici určitého integrálu, která je založena na existenci primitivní funkce. Pod pojmem Newtonův integrál se často rozumí i související pojem neurčitý integrál (primitivní funkce), zatímco pro odvozený výpočet určitého integrálu se používá pojem výpočet podle Newtonova-Leibnizova vzorce. Primitivní funkce může z definice existovat pouze pro funkci jedné proměnné, ale Newtonův vzorec lze aplikovat i ve vícerozměrných integrálech.

Definice

Pokud je funkce funkce \(f(x)\) spojitá na intervalu \(\langle a,b\rangle\), a funkce \(F(x)\) je k ní na \(\langle a,b\rangle\) primitivní, pak platí.

\(\int_a^b f(x) \mathrm{d}x = F(b)-F(a)\)

Tento vztah bývá též označován jako Newton-Leibnizova formule, popř. se o něm také hovoří jako o základní větě integrálního počtu.

Newtonova definice určitého integrálu požaduje spojitost funkce na daném intervalu. Pokud není funkce na intervalu spojitá v konečně mnoha bodech, lze interval v bodech nespojitosti rozdělit a hledat primitivní funkce po částech. Pro tento případ je ještě potřeba definovat takzvaný "zobecněný Newtonův integrál", který je v případě nespojitosti primitivní funkce v krajních bodech definován jako rozdíl jednostranných krajních limit. Tedy:

\(\int_a^b f(x) \mathrm{d}x = \lim_{x\to b^-} F(x)-\lim_{x\to a^+} F(x)\)

Zápis

Vzhledem k tomu, že \(F(x)\) je primitivní funkcí k \(f(x)\), používáme obvykle při výpočtu zápis

\(\int_a^b f(x) \mathrm{d}x = {[F(x)]}_a^b = {F(x)|}_a^b = F(b)-F(a)\)

Historie

Pojem primitivní funkce, jakož i objevení Newtonova-Leibnizova vzorce je připisován Gottfriedu Wilhelmovi Leibnizovi na podzim roku 1675 a Isaacu Newtonovi roku 1666. I když se vedly o autorství objevu celého diferenciálního počtu rozepře, oba matematici objev učinili zřejmě nezávisle na sobě.

Jejich snaha byla zjistit obecný vzorec pro výpočet plochy pod křivkou. V případě Isaaca Newtona byla tato snaha motivována i využitím v mechanice. V 19. století se při snaze eliminovat nejasně definované pojmy infinitesimálních veličin Leibnize a Newtona rozvinula metoda založená na limitě přibližných součtů, dnes nazývaná Riemannův integrál. Na počátku dvacátého století pak vznikla teorie obecného integrálu, nazývaná integrálem Lebesgueovým.

Související články

Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010
Informace o článku. Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. Tento text je dostupný za podmínek Creative Commons 3.0 Unported – creativecommons.org. Originální článek na české Wikipedii

@@ Řádka 3: / Řádka 3: @@
 ==Definice==
-Pokud je funkce [[funkce (matematika)|funkce]] <math>f(x)</math> [[spojitost|spojitá]] na [[interval (matematika)|intervalu]] <math>\langle a,b\rangle</math>, a funkce <math>F(x)</math> je k ní na <math>\langle a,b\rangle</math> primitivní, pak platí.
+Pokud je funkce [[funkce (matematika)|funkce]] <big>\(f(x)\)</big> [[spojitost|spojitá]] na [[interval (matematika)|intervalu]] <big>\(\langle a,b\rangle\)</big>, a funkce <big>\(F(x)\)</big> je k ní na <big>\(\langle a,b\rangle\)</big> primitivní, pak platí.
-:<math>\int_a^b f(x) \mathrm{d}x = F(b)-F(a)</math>
+:<big>\(\int_a^b f(x) \mathrm{d}x = F(b)-F(a)\)</big>
@@ Řádka 11: / Řádka 11: @@
 Newtonova definice určitého integrálu požaduje spojitost funkce na daném intervalu. Pokud není funkce na intervalu spojitá v konečně mnoha bodech, lze interval v bodech nespojitosti rozdělit a hledat primitivní funkce po částech. Pro tento případ je ještě potřeba definovat takzvaný "zobecněný Newtonův integrál", který je v případě nespojitosti primitivní funkce v krajních bodech definován jako rozdíl [[jednostranná limita|jednostranných krajních limit]]. Tedy:
-:<math>\int_a^b f(x) \mathrm{d}x = \lim_{x\to b^-} F(x)-\lim_{x\to a^+} F(x)</math>
+:<big>\(\int_a^b f(x) \mathrm{d}x = \lim_{x\to b^-} F(x)-\lim_{x\to a^+} F(x)\)</big>
 ==Zápis==
-Vzhledem k tomu, že <math>F(x)</math> je primitivní funkcí k <math>f(x)</math>, používáme obvykle při výpočtu zápis
+Vzhledem k tomu, že <big>\(F(x)\)</big> je primitivní funkcí k <big>\(f(x)\)</big>, používáme obvykle při výpočtu zápis
-:<math>\int_a^b f(x) \mathrm{d}x = {[F(x)]}_a^b = {F(x)|}_a^b = F(b)-F(a)</math>
+:<big>\(\int_a^b f(x) \mathrm{d}x = {[F(x)]}_a^b = {F(x)|}_a^b = F(b)-F(a)\)</big>
 ==Historie==