Vzdálenost bodu od přímky
Z Multimediaexpo.cz
m (1 revizi) |
m (Nahrazení textu „</math>“ textem „\)</big>“) |
||
| (Nejsou zobrazeny 3 mezilehlé verze.) | |||
| Řádka 1: | Řádka 1: | ||
| - | {{ | + | {{Upravit}} |
| + | == V rovině (v π <sub>2</sub>) == | ||
| + | <br /> | ||
| + | Vzdálenost bodu ''A[x<sub>a</sub>, y<sub>a</sub>]'' od přímky ''p'' v rovině najdeme tak, že nejprve odhalíme souřadnice kolmého průmětu ''X'' bodu ''A'' na přímku ''p''. Bod ''X'' je průsečíkem přímky ''p'' a přímky ''q'', která prochází bodem ''A'' a je kolmá na ''p''. Proto nejdřív musíme najít přímku ''q'', pro kterou musí platit, že její směrový vektor je normálový vektor přímky ''p'': | ||
| + | <br /> | ||
| + | Rovnici přímky ''p'' upravíme na obecný tvar: | ||
| + | : <big>\(ax + by + c = 0\)</big> | ||
| + | Z této rovnice získáme normálový vektor přímky ''p'': | ||
| + | : <big>\(\mathbf{n} = (a;b)\)</big> | ||
| + | Tento normálový vektor je směrovým vektorem přímky ''q'', proto normálový vektor přímky ''q'' je: | ||
| + | : <big>\(\mathbf{u} = (-b;a)\)</big> | ||
| + | Takže obecná rovnice přímky ''q'' má následující tvar: | ||
| + | : <big>\(-bx + ay + d = 0\)</big> | ||
| + | Proměnnou ''d'' získáme dosazením souřadnic bodu ''A'' do rovnice: | ||
| + | : <big>\(d = bx_a - ay_a\)</big> | ||
| + | Nyní už jen dořešíme soustavu dvou lineárních rovnic, ze které získáme souřadnice bodu X a tyto souřadnice dosadíme spolu se souřadnicemi bodu A do vzorečku pro vzdálenost dvou bodů v rovině: | ||
| + | : <big>\(\left| AX \right| = \sqrt{\left( x_a - x_x \right)^2 + \left( y_a - y_x \right)^2}\)</big> | ||
| + | Tímto postupem lze získat obecný vzoreček pro vzdálenost bodu od přímky v rovině: | ||
| + | <big>\(v = \frac{\left|ax_a + by_a + c\right|}{\sqrt{a^2 + b^2}}\)</big> | ||
| + | == V prostoru (v π <sub>3</sub>) == | ||
| + | <br /> | ||
| + | Postup v prostoru je analogický s tím v rovině. Pouze tentokrát nebudeme hledat průsečík přímky ''p'' a na ní kolmé přímky ''q'', ale průsečík přímky ''p'' a roviny ρ, která je kolmá na ''p'' a leží v ní bod ''A''. Rovnici roviny ρ získáme stejným postupem jako předtím, musíme mít pouze na paměti, že přímku v prostoru nelze určit jedinou lineární rovnicí. Vzoreček pro vzdálenost dvou bodů v prostoru je podobný jako v rovině, pouze přibude jeden výraz: | ||
| + | : <big>\(\left| AX \right| = \sqrt{\left( x_a - x_x \right)^2 + \left( y_a - y_x \right)^2 + \left( z_a - z_x \right)^2}\)</big> | ||
| + | |||
| + | |||
| + | {{Článek z Wikipedie}} | ||
[[Kategorie:Geometrie]] | [[Kategorie:Geometrie]] | ||
Aktuální verze z 14. 8. 2022, 14:54
| Tento článek potřebuje úpravy. Můžete Multimediaexpo.cz pomoci tím, že ho vylepšíte. Jak by měly články vypadat, popisují stránky Vzhled a styl a Encyklopedický styl. |
|
V rovině (v π 2)
Vzdálenost bodu A[xa, ya] od přímky p v rovině najdeme tak, že nejprve odhalíme souřadnice kolmého průmětu X bodu A na přímku p. Bod X je průsečíkem přímky p a přímky q, která prochází bodem A a je kolmá na p. Proto nejdřív musíme najít přímku q, pro kterou musí platit, že její směrový vektor je normálový vektor přímky p:
Rovnici přímky p upravíme na obecný tvar:
- \(ax + by + c = 0\)
Z této rovnice získáme normálový vektor přímky p:
- \(\mathbf{n} = (a;b)\)
Tento normálový vektor je směrovým vektorem přímky q, proto normálový vektor přímky q je:
- \(\mathbf{u} = (-b;a)\)
Takže obecná rovnice přímky q má následující tvar:
- \(-bx + ay + d = 0\)
Proměnnou d získáme dosazením souřadnic bodu A do rovnice:
- \(d = bx_a - ay_a\)
Nyní už jen dořešíme soustavu dvou lineárních rovnic, ze které získáme souřadnice bodu X a tyto souřadnice dosadíme spolu se souřadnicemi bodu A do vzorečku pro vzdálenost dvou bodů v rovině:
- \(\left| AX \right| = \sqrt{\left( x_a - x_x \right)^2 + \left( y_a - y_x \right)^2}\)
Tímto postupem lze získat obecný vzoreček pro vzdálenost bodu od přímky v rovině: \(v = \frac{\left|ax_a + by_a + c\right|}{\sqrt{a^2 + b^2}}\)
V prostoru (v π 3)
Postup v prostoru je analogický s tím v rovině. Pouze tentokrát nebudeme hledat průsečík přímky p a na ní kolmé přímky q, ale průsečík přímky p a roviny ρ, která je kolmá na p a leží v ní bod A. Rovnici roviny ρ získáme stejným postupem jako předtím, musíme mít pouze na paměti, že přímku v prostoru nelze určit jedinou lineární rovnicí. Vzoreček pro vzdálenost dvou bodů v prostoru je podobný jako v rovině, pouze přibude jeden výraz:
- \(\left| AX \right| = \sqrt{\left( x_a - x_x \right)^2 + \left( y_a - y_x \right)^2 + \left( z_a - z_x \right)^2}\)
| Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010 |
|---|
| Informace o článku.
Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. |