Paprsková rovnice

Z Multimediaexpo.cz

Aktuální verze z 14. 8. 2022, 15:27

Paprskovu rovnici je možno odvodit z eikonálové rovnice, případně z Fermatova principu. Tato rovnice popisuje šíření paprsku v prostředí s proměnným indexem lomu. Její tvar je

\(\nabla n = \frac{\rm{d}}{\rm{d}s} (n \frac{\rm{d}\mathbf{r}}{\rm{d}s})\),

kde \(s\) je přirozenou parametrizací trajektorie, tedy parametrizace obloukem.

Provedením derivace součinu je možno rovnici přepsat na tvar

\(n\frac{\rm{d}^2 \mathbf{r}}{\rm{d}s^2} = \nabla n - (\nabla n \cdot \frac{\rm{d}\mathbf{r}}{\rm{d}s})\frac{\rm{d}\mathbf{r}}{\rm{d}s}\)

Z diferenciální geometrie je přitom známo, že \(\frac{\rm{d}^2 \mathbf{r}}{\rm{d}s^2}\) je vždy kolmá na \(\frac{\rm{d} \mathbf{r}}{\rm{d}s}\) (tedy na směr paprsku) a její velikost se rovná křivosti křivky,

\(\frac{1}{R}= \left|\frac{\rm{d}^2 \mathbf{r}}{\rm{d}s^2}\right|\).

Paprsková rovnice tedy umožňuje ze směru paprsku v určitém bodě určit jeho poloměr křivosti R v tomto bodě a také rovinu, ve které je paprsek zakřiven (oskulační rovinu).

Máme-li tedy zadán směr paprsku \(\frac{\rm{d} \mathbf{r}}{\rm{d}s}\) v jednom bodě v prostoru, jsme schopni z paprskové rovnice vypočítat, jak se bude paprsek dál šířit, případně i jak se šířil předtím, než do tohoto místa doletěl.

Příklady

Speciálně je-li \(\nabla n =0\), dostáváme nulovou křivost v každém bodě, což odpovídá přímočarému šíření světla v homogenním izotropním prostředí, paprsky jsou přímky.

Závisí-li index lomu pouze na souřadnici y, pak z paprskové rovnice je okamžitě vidět, že pro paprsek pohybující se v rovině x,y platí

\(n(y)\frac{\rm{d}x}{\rm{d}s}=konst.\)

Což lze přepsat pomocí úhlu \(\alpha\), který paprsek svírá s osou y do tvaru

\(n(y) \sin \alpha = konst.\)

Z čehož speciálně plyne Snellův zákon lomu:

\(n_1 \sin \alpha_1 = n_2 \sin \alpha_2\)

Externí odkazy