Kořen (matematika)

Z Multimediaexpo.cz

(Rozdíly mezi verzemi)
m (1 revizi)
m (Nahrazení textu „\sgn“ textem „{\operatorname{sgn}}“)
 
(Nejsou zobrazeny 3 mezilehlé verze.)
Řádka 1: Řádka 1:
-
{{Wikipedia-cs|Kořen (matematika)|700}}
+
'''Kořenem''' [[funkce (matematika)|funkce]] ''f'' se v [[matematika|matematice]] nazývá takový prvek ''a'' z [[definiční obor|definičního oboru]] ''f'', v němž ''f'' nabývá [[nula|nulové]] hodnoty.
 +
Přesněji kořenem je každé ''a'' splňující [[rovnice|rovnici]] ''f''(''a'') = 0. Pro nejběžnější případ, kdy je definiční obor ''f'' [[podmnožina|podmnožinou]] [[komplexní číslo|komplexních]] resp. [[reálné číslo|reálných čísel]], je kořen bod, v němž [[graf funkce]] ''f'' protíná [[komplexní rovina|komplexní rovinu]] resp. [[osa|osu]] ''x''.
 +
 +
== Kořen polynomu ==
 +
[[Polynom]] jedné proměnné stupně ''n'' s [[komplexní číslo|komplexními]] koeficienty chápaný jako funkce může mít nejvýše ''n'' různých komplexních kořenů. Je-li totiž ''a'' kořenem polynomu ''P''(''x''), pak (''x'' − ''a'') dělí ''P''(''x''), a tedy ''P(x)/(x-a)'' je polynom stupně ''n-1''.
 +
 +
Podle [[Základní věta algebry|základní věty algebry]] má každý polynom jedné proměnné stupně ''n'' s komplexními koeficienty v komplexních číslech právě ''n'' kořenů, je-li každý počítán ve své násobnosti. Uvažujeme-li polynom nad reálnými čísly, pak tato situace nemusí obecně platit - např. polynom <big>\(x^2+1\)</big> nemá v reálných číslech kořen (kořeny polynomu jsou komplexní čísla <big>\(\pm i\)</big>).
 +
 +
=== Metody výpočtu ===
 +
==== Přímo ====
 +
* Je-li <big>\(P(x)\)</big> lineární polynom (tedy <big>\(P(x) = ax + b\)</big>, kde <big>\(a \neq 0\)</big> a <big>\(b\)</big> jsou reálná nebo komplexní čísla), pak jeho kořenem je číslo <big>\(x_0=-\frac{b}{a}\)</big>
 +
* Jde-li o [[kvadratická rovnice|kvadratický polynom]] (<big>\(P(x) = ax^2 + bx + c\)</big>), pak existují obecně dva kořeny <big>\(x_{1,2} = \frac{-b \pm\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)</big>.
 +
* Pro výpočet kořenů [[Kubická rovnice|kubického polynomu]] existují např. [[Cardanovy vzorce]].
 +
 +
==== Aproximací ====
 +
Najdeme-li dva body <big>\(x_1\)</big> a <big>\(x_2\)</big>, pro které platí <big>\({\operatorname{sgn}}(P(x_1)) = -{\operatorname{sgn}}(P(x_2))\)</big> kde <big>\({\operatorname{sgn}}\)</big> značí znaménkovou funkci [[Funkce signum|signum]] (jinak řečeno <big>\(P(x_1)P(x_2)<0\)</big>), pak existuje alespoň jeden kořen v intervalu <big>\((x_1,x_2)\)</big> (viz [[Bolzanova věta]]). Tento kořen lze najít metodou [[půlení intervalů]] nebo [[Metoda tečen|metodou tečen]]
 +
 +
== Příklady ==
 +
* Kořenem funkce (polynomu) <big>\(f(x) = x^2 + 6x + 9\)</big> je číslo −3, protože ''f''(-3) = 0.<br />Jiné kořeny tato funkce nemá – to se zjistí snadno rozkladem na <big>\((x + 3)^2\)</big>.
 +
* Funkce <big>\(f(x) = e^x\)</big> (viz [[Eulerovo číslo]]) nemá v reálných ani komplexních číslech kořen.
 +
* Funkce <big>\(f(x) = sin (x)\)</big> (viz [[sinus]]) má [[nekonečná množina|nekonečně]] mnoho kořenů, a to právě čísla tvaru ''kπ'', kde ''π'' je [[Pí (číslo)|Ludolfovo číslo]] a ''k'' libovolné [[celé číslo]].
 +
 +
== Související články ==
 +
* [[Rovnice]]
 +
* [[Funkce (matematika)|Funkce]]
 +
 +
 +
{{Článek z Wikipedie}}
[[Kategorie:Algebra]]
[[Kategorie:Algebra]]
[[Kategorie:Rovnice|*]]
[[Kategorie:Rovnice|*]]
[[Kategorie:Matematická analýza]]
[[Kategorie:Matematická analýza]]

Aktuální verze z 15. 8. 2022, 16:22

Kořenem funkce f se v matematice nazývá takový prvek a z definičního oboru f, v němž f nabývá nulové hodnoty.

Přesněji kořenem je každé a splňující rovnici f(a) = 0. Pro nejběžnější případ, kdy je definiční obor f podmnožinou komplexních resp. reálných čísel, je kořen bod, v němž graf funkce f protíná komplexní rovinu resp. osu x.

Obsah

Kořen polynomu

Polynom jedné proměnné stupně n s komplexními koeficienty chápaný jako funkce může mít nejvýše n různých komplexních kořenů. Je-li totiž a kořenem polynomu P(x), pak (x − a) dělí P(x), a tedy P(x)/(x-a) je polynom stupně n-1.

Podle základní věty algebry má každý polynom jedné proměnné stupně n s komplexními koeficienty v komplexních číslech právě n kořenů, je-li každý počítán ve své násobnosti. Uvažujeme-li polynom nad reálnými čísly, pak tato situace nemusí obecně platit - např. polynom \(x^2+1\) nemá v reálných číslech kořen (kořeny polynomu jsou komplexní čísla \(\pm i\)).

Metody výpočtu

Přímo

  • Je-li \(P(x)\) lineární polynom (tedy \(P(x) = ax + b\), kde \(a \neq 0\) a \(b\) jsou reálná nebo komplexní čísla), pak jeho kořenem je číslo \(x_0=-\frac{b}{a}\)
  • Jde-li o kvadratický polynom (\(P(x) = ax^2 + bx + c\)), pak existují obecně dva kořeny \(x_{1,2} = \frac{-b \pm\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\).
  • Pro výpočet kořenů kubického polynomu existují např. Cardanovy vzorce.

Aproximací

Najdeme-li dva body \(x_1\) a \(x_2\), pro které platí \({\operatorname{sgn}}(P(x_1)) = -{\operatorname{sgn}}(P(x_2))\) kde \({\operatorname{sgn}}\) značí znaménkovou funkci signum (jinak řečeno \(P(x_1)P(x_2)<0\)), pak existuje alespoň jeden kořen v intervalu \((x_1,x_2)\) (viz Bolzanova věta). Tento kořen lze najít metodou půlení intervalů nebo metodou tečen

Příklady

  • Kořenem funkce (polynomu) \(f(x) = x^2 + 6x + 9\) je číslo −3, protože f(-3) = 0.
    Jiné kořeny tato funkce nemá – to se zjistí snadno rozkladem na \((x + 3)^2\).
  • Funkce \(f(x) = e^x\) (viz Eulerovo číslo) nemá v reálných ani komplexních číslech kořen.
  • Funkce \(f(x) = sin (x)\) (viz sinus) má nekonečně mnoho kořenů, a to právě čísla tvaru kπ, kde π je Ludolfovo číslo a k libovolné celé číslo.

Související články


Citováno z „http://ww.multimediaexpo.cz/mmecz/index.php/Ko%C5%99en_(matematika)“