Nerovnice

Z Multimediaexpo.cz

(Rozdíly mezi verzemi)
m (1 revizi)
m (Nahrazení textu „\empty“ textem „\emptyset“)
 
(Nejsou zobrazeny 4 mezilehlé verze.)
Řádka 1: Řádka 1:
-
{{Wikipedia-cs|Nerovnice|700}}
+
Uvažujme dvě [[funkce (matematika)|funkce]] <big>\(L(x), P(x)\)</big>, které jsou [[definiční obor|definovány]] na nějaké [[množina|množině]] <big>\(D\)</big>. Zápis
 +
:<big>\(L(x) > P(x)\)</big>
 +
resp.
 +
:<big>\(L(x) \geq P(x)\)</big>
 +
resp.
 +
:<big>\(L(x) < P(x)\)</big>
 +
resp.
 +
:<big>\(L(x) \le P(x)\)</big>
 +
se nazývá '''nerovnicí''' o jedné neznámé <big>\(x\)</big>. Funkce <big>\(L(x)\)</big> se nazývá ''levá strana nerovnice'' a <big>\(P(x)\)</big> se nazývá ''pravá strana nerovnice''. Vztah obou stran nerovnice (relaci) určuje ''znaménko [[nerovnost (matematika)|nerovnosti]]'', které se v nerovnici vyskytuje právě jednou.
 +
 +
== Klasifikace řešení ==
 +
 +
Řešením nerovnice je taková množina všech <big>\(x \in D\)</big>, která splňuje výše uvedenou relaci obou stran nerovnice. V oboru reálných čísel může mít nerovnice tato řešení:
 +
* '''prázdná množina''': nerovnice nemá řešení; např. <big>\(x^2 < 0\)</big>, řešení: <big>\(x\in\emptyset\)</big>
 +
* '''jedna nebo více diskrétních hodnot''': kořen rovnice <big>\(L(x) = P(x)\)</big>; např. <big>\(\cos x \ge 1\)</big>, řešení: <big>\(x = 2 \pi k\)</big>, <big>\(k\in\mathbb{Z}\)</big>
 +
* '''interval''': všechny typy [[interval (matematika)|intervalů]]; např. <big>\(x^2 -1 \le 0\)</big>, řešení: <big>\(x \in \lang -1, 1 \rang \)</big>
 +
* '''sjednocení intervalů''': např. <big>\(4 - x^2 < 0 \)</big>, řešení: <big>\(x \in ( -\infty, -2 ) \cup ( 2, \infty)\)</big>
 +
 +
== Početní postup řešení ==
 +
 +
Při hledání řešení nerovnice postupujeme obdobně jako při řešení rovnice: [[Rovnice|ekvivalentními úpravami]] se snažíme nerovnici převést na jednodušší tvar, z něhož jsme schopni určit řešení nerovnice.
 +
 +
Při řešení nerovnic se často využívá, že pro dvě čísla <big>\(a, b\)</big> platí, že pokud <big>\(a b > 0\)</big>, pak je buď <big>\(a > 0\)</big> a <big>\(b > 0\)</big> nebo <big>\(a < 0\)</big> a <big>\(b < 0\)</big>. Často se také využívá skutečnosti, že pro <big>\(a > b\)</big> platí <big>\(\frac{1}{a} < \frac{1}{b}\)</big>.
 +
 +
Je třeba mít na paměti, že úpravy nerovnice mají, na rozdíl od úprav rovnic, vliv také na [[Relace (matematika)|relaci]] obou stran nerovnice. Např. pokud nerovnici <big>\(-2 x > -1\)</big> vynásobíme <big>\(-1\)</big>, dostaneme nerovnici <big>\(2 x < 1\)</big>, tzn. došlo ke změně > na <.
 +
 +
== Grafické řešení ==
 +
 +
U nerovnic se často užívá grafické řešení, neboť je názorné. Známe-li totiž [[Kořen rovnice|kořeny rovnice]] <big>\(f(x) = 0\)</big>, můžeme je využít při řešení nerovnice <big>\(f(x) > 0\)</big>, neboť kořeny určují krajní body [[interval (matematika)|intervalů]], které jsou řešením nerovnice. Grafické řešení pomáhá rychle určit, které z intervalů jsou řešením a které nikoli.
 +
 +
== Rozdělení ==
 +
 +
Podobně jako u [[rovnice|rovnic]] lze také nerovnice rozdělit na ''algebraické'' a ''nealgebraické''.
 +
 +
== Související články ==
 +
* [[Nerovnost (matematika)|Nerovnost]]
 +
* [[Rovnice]]
 +
 +
 +
{{Článek z Wikipedie}}
[[Kategorie:Rovnice]]
[[Kategorie:Rovnice]]

Aktuální verze z 11. 7. 2023, 18:16

Uvažujme dvě funkce \(L(x), P(x)\), které jsou definovány na nějaké množině \(D\). Zápis

\(L(x) > P(x)\)

resp.

\(L(x) \geq P(x)\)

resp.

\(L(x) < P(x)\)

resp.

\(L(x) \le P(x)\)

se nazývá nerovnicí o jedné neznámé \(x\). Funkce \(L(x)\) se nazývá levá strana nerovnice a \(P(x)\) se nazývá pravá strana nerovnice. Vztah obou stran nerovnice (relaci) určuje znaménko nerovnosti, které se v nerovnici vyskytuje právě jednou.

Obsah

Klasifikace řešení

Řešením nerovnice je taková množina všech \(x \in D\), která splňuje výše uvedenou relaci obou stran nerovnice. V oboru reálných čísel může mít nerovnice tato řešení:

  • prázdná množina: nerovnice nemá řešení; např. \(x^2 < 0\), řešení: \(x\in\emptyset\)
  • jedna nebo více diskrétních hodnot: kořen rovnice \(L(x) = P(x)\); např. \(\cos x \ge 1\), řešení: \(x = 2 \pi k\), \(k\in\mathbb{Z}\)
  • interval: všechny typy intervalů; např. \(x^2 -1 \le 0\), řešení: \(x \in \lang -1, 1 \rang \)
  • sjednocení intervalů: např. \(4 - x^2 < 0 \), řešení: \(x \in ( -\infty, -2 ) \cup ( 2, \infty)\)

Početní postup řešení

Při hledání řešení nerovnice postupujeme obdobně jako při řešení rovnice: ekvivalentními úpravami se snažíme nerovnici převést na jednodušší tvar, z něhož jsme schopni určit řešení nerovnice.

Při řešení nerovnic se často využívá, že pro dvě čísla \(a, b\) platí, že pokud \(a b > 0\), pak je buď \(a > 0\) a \(b > 0\) nebo \(a < 0\) a \(b < 0\). Často se také využívá skutečnosti, že pro \(a > b\) platí \(\frac{1}{a} < \frac{1}{b}\).

Je třeba mít na paměti, že úpravy nerovnice mají, na rozdíl od úprav rovnic, vliv také na relaci obou stran nerovnice. Např. pokud nerovnici \(-2 x > -1\) vynásobíme \(-1\), dostaneme nerovnici \(2 x < 1\), tzn. došlo ke změně > na <.

Grafické řešení

U nerovnic se často užívá grafické řešení, neboť je názorné. Známe-li totiž kořeny rovnice \(f(x) = 0\), můžeme je využít při řešení nerovnice \(f(x) > 0\), neboť kořeny určují krajní body intervalů, které jsou řešením nerovnice. Grafické řešení pomáhá rychle určit, které z intervalů jsou řešením a které nikoli.

Rozdělení

Podobně jako u rovnic lze také nerovnice rozdělit na algebraické a nealgebraické.

Související články


Citováno z „http://ww.multimediaexpo.cz/mmecz/index.php/Nerovnice“