Úplný svaz

Z Multimediaexpo.cz

(Rozdíly mezi verzemi)
m (1 revizi)
(+ Aktualizace)
 
Řádka 1: Řádka 1:
-
{{Wikipedia-cs|Úplný svaz|700}}
+
'''Úplný svaz''' je [[Matematika|matematický]] pojem z oboru [[teorie uspořádání]], který vymezuje mezi [[uspořádaná množina|uspořádanými množinami]] ty, které jsou uspořádány „rozumně“ (to znamená, že zachovávají [[Supremum|suprema]] a [[Infimum|infima]]).
 +
Na rozdíl od [[Svaz (matematika)|svazu]], kde je zachování suprem a infim požadováno pro dvouprvkové podmnožiny, pro úplný svaz je toto požadováno pro libovolné (tedy i nekonečné) podmnožiny.
 +
 +
== Definice ==
 +
Množinu <big>\( X \,\! \)</big> uspořádanou [[Binární relace|relací]] <big>\( R \,\! \)</big> nazveme úplným svazem, pokud pro každou svou [[Podmnožina|podmnožinu]] obsahuje i její supremum a infimum.<br />
 +
<big>\( ( \forall Y \subseteq X) (\exists i,s \in X) ( i = \inf\nolimits_R(Y) \land s = \sup\nolimits_R(Y) ) \,\! \)</big>
 +
 +
== Příklady a vlastnosti ==
 +
Už z názvu je vidět, že každý úplný svaz je zároveň [[Svaz (matematika)|svaz]]. (Pokud obsahuje supremum a infimum pro každou podmnožinu, pak je obsahuje určitě i pro dvouprvkové podmnožiny – a to je přesně to, o co jde v definici svazu).
 +
 +
Je proto přirozené hledat příklady úplného svazu mezi svazy a ptát se, které z nich jsou úplné.
 +
 +
=== Úplný svaz potenční algebry ===
 +
[[Potenční algebra]] (tj. množina všech podmnožin nějaké množiny s uspořádáním relací „být podmnožinou“) je úplný svaz, protože sjednocení je v tomto případě supremem a průnik infimem.<br />
 +
Pokud je tedy <big>\( X = \mathbb{P}(X_0) \,\!\)</big> [[potenční množina]] a <big>\( Y \subseteq X \,\! \)</big> je nějakou množinou podmnožin <big>\( X_0 \,\!\)</big>
 +
* <big>\( inf_{\subseteq}(Y) = \bigcap Y \,\! \)</big>
 +
* <big>\( sup_{\subseteq}(Y) = \bigcup Y \,\! \)</big>
 +
 +
=== Svazy, které nejsou úplné ===
 +
Úplný svaz musí mít [[největší prvek]] a [[nejmenší prvek]] – musí totiž obsahovat supremum a infimum sebe sama (tj. celé množiny <big>\( X \,\! \)</big>).
 +
 +
Z toho vyplvývá, že například [[Přirozené číslo|přirozená čísla]] nebo [[Reálné číslo|reálná čísla]] při běžném uspořádání podle velikosti nemohou být úplný svaz (nemají totiž největší prvek) – jedná se o dva příklady [[Svaz (matematika)|svazu]], který není úplným svazem.
 +
 +
=== Zúplnění svazu reálných čísel ===
 +
O reálných číslech <big>\( \mathbb{R} \,\! \)</big> víme, že se jedná o svaz, navíc jejich [[Omezená množina|omezené množiny]] mají supremum a infimum. Pokud by se podařilo nějak přidělit supremum a infimum i neomezeným množinám reálných čísel, získali bychom úplný svaz.
 +
 +
Uvažujme o [[Množina|množině]], která vznikne z <big>\( \mathbb{R} \,\! \)</big> jejich rozšířením o dva prvky: <big>\( +\infty \,\! \)</big> je větší, než všechny čísla z <big>\( \mathbb{R} \,\! \)</big> a <big>\( -\infty \,\! \)</big> je menší, než všechna čísla z <big>\( \mathbb{R} \,\! \)</big>. (Díky [[Tranzitivní relace|tranzitivitě]] uspořádání platí také, že <big>\( -\infty < +\infty  \,\! \)</big> ).
 +
 +
Získali jsme množinu <big>\( \mathbb{R} \cup \{ -\infty, +\infty \} \,\! \)</big>, která již je úplný svaz:
 +
* omezené množiny z <big>\( \mathbb{R} \,\! \)</big> mají supremum a infimum v <big>\( \mathbb{R} \,\! \)</big>
 +
* zdola neomezená množina z <big>\( \mathbb{R} \,\! \)</big> má infimum <big>\( -\infty \,\! \)</big>
 +
* shora neomezená množina z <big>\( \mathbb{R} \,\! \)</big> má supremum <big>\( +\infty \,\! \)</big>
 +
* množina obsahující <big>\( -\infty \,\! \)</big> má infimum <big>\( -\infty \,\! \)</big>
 +
* množina obsahující <big>\( +\infty \,\! \)</big> má supremum <big>\( +\infty \,\! \)</big>
 +
 +
== Související články ==
 +
* [[Svaz (matematika)|Svaz]]
 +
* [[Potenční algebra]]
 +
* [[Reálné číslo|Reálná čísla]]
 +
* [[Dedekindův řez]]
 +
 +
== Externí odkazy ==
 +
 +
{{Článek z Wikipedie}}
[[Kategorie:Algebraické struktury]]
[[Kategorie:Algebraické struktury]]
[[Kategorie:Teorie uspořádání]]
[[Kategorie:Teorie uspořádání]]

Aktuální verze z 14. 4. 2024, 17:22

Úplný svaz je matematický pojem z oboru teorie uspořádání, který vymezuje mezi uspořádanými množinami ty, které jsou uspořádány „rozumně“ (to znamená, že zachovávají suprema a infima).

Na rozdíl od svazu, kde je zachování suprem a infim požadováno pro dvouprvkové podmnožiny, pro úplný svaz je toto požadováno pro libovolné (tedy i nekonečné) podmnožiny.

Obsah

Definice

Množinu \( X \,\! \) uspořádanou relací \( R \,\! \) nazveme úplným svazem, pokud pro každou svou podmnožinu obsahuje i její supremum a infimum.
\( ( \forall Y \subseteq X) (\exists i,s \in X) ( i = \inf\nolimits_R(Y) \land s = \sup\nolimits_R(Y) ) \,\! \)

Příklady a vlastnosti

Už z názvu je vidět, že každý úplný svaz je zároveň svaz. (Pokud obsahuje supremum a infimum pro každou podmnožinu, pak je obsahuje určitě i pro dvouprvkové podmnožiny – a to je přesně to, o co jde v definici svazu).

Je proto přirozené hledat příklady úplného svazu mezi svazy a ptát se, které z nich jsou úplné.

Úplný svaz potenční algebry

Potenční algebra (tj. množina všech podmnožin nějaké množiny s uspořádáním relací „být podmnožinou“) je úplný svaz, protože sjednocení je v tomto případě supremem a průnik infimem.
Pokud je tedy \( X = \mathbb{P}(X_0) \,\!\) potenční množina a \( Y \subseteq X \,\! \) je nějakou množinou podmnožin \( X_0 \,\!\)

  • \( inf_{\subseteq}(Y) = \bigcap Y \,\! \)
  • \( sup_{\subseteq}(Y) = \bigcup Y \,\! \)

Svazy, které nejsou úplné

Úplný svaz musí mít největší prvek a nejmenší prvek – musí totiž obsahovat supremum a infimum sebe sama (tj. celé množiny \( X \,\! \)).

Z toho vyplvývá, že například přirozená čísla nebo reálná čísla při běžném uspořádání podle velikosti nemohou být úplný svaz (nemají totiž největší prvek) – jedná se o dva příklady svazu, který není úplným svazem.

Zúplnění svazu reálných čísel

O reálných číslech \( \mathbb{R} \,\! \) víme, že se jedná o svaz, navíc jejich omezené množiny mají supremum a infimum. Pokud by se podařilo nějak přidělit supremum a infimum i neomezeným množinám reálných čísel, získali bychom úplný svaz.

Uvažujme o množině, která vznikne z \( \mathbb{R} \,\! \) jejich rozšířením o dva prvky: \( +\infty \,\! \) je větší, než všechny čísla z \( \mathbb{R} \,\! \) a \( -\infty \,\! \) je menší, než všechna čísla z \( \mathbb{R} \,\! \). (Díky tranzitivitě uspořádání platí také, že \( -\infty < +\infty \,\! \) ).

Získali jsme množinu \( \mathbb{R} \cup \{ -\infty, +\infty \} \,\! \), která již je úplný svaz:

  • omezené množiny z \( \mathbb{R} \,\! \) mají supremum a infimum v \( \mathbb{R} \,\! \)
  • zdola neomezená množina z \( \mathbb{R} \,\! \) má infimum \( -\infty \,\! \)
  • shora neomezená množina z \( \mathbb{R} \,\! \) má supremum \( +\infty \,\! \)
  • množina obsahující \( -\infty \,\! \) má infimum \( -\infty \,\! \)
  • množina obsahující \( +\infty \,\! \) má supremum \( +\infty \,\! \)

Související články

Externí odkazy

Citováno z „http://ww.multimediaexpo.cz/mmecz/index.php/%C3%9Apln%C3%BD_svaz“