Sinová věta

Z Multimediaexpo.cz

(Rozdíly mezi verzemi)
m (1 revizi)
(+ Masivní vylepšení)
Řádka 1: Řádka 1:
-
{{Wikipedia-cs|Sinová věta|700}}
+
[[Soubor:Triangle - angles, vertices, sides.png|thumb|230px|Trojúhelník ABC]]
 +
V [[trigonometrie|trigonometrii]] je '''sinová věta''' důležité tvrzení o rovinných [[trojúhelník|trojúhelnících]]. Nejčastěji zní takto:
 +
Pro každý trojúhelník ABC s vnitřními [[úhel|úhly]] α, β, γ a stranami ''a'', ''b'', ''c'' platí:
 +
:<math>\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma}</math>.
 +
Neboli: „Poměr všech délek stran a hodnot [[sinus|sinů]] jim protilehlých úhlů je v&nbsp;trojúhelníku konstantní.“
 +
 +
----
 +
 +
Větu lze ovšem zformulovat také takto:
 +
:<math>\frac{a}{b} = \frac{\sin \alpha}{\sin \beta}</math> , či takto: <math>\frac{b}{c} = \frac{\sin \beta}{\sin \gamma}</math> , nebo takto: <math>\frac{c}{a} = \frac{\sin \gamma}{\sin \alpha}</math>,
 +
s&nbsp;významem: „Poměr délek stran trojúhelníku se rovná poměru sinů velikostí jim protilehlých úhlů.“
 +
 +
Věta se používá zejména v&nbsp;následujících dvou případech:
 +
* Máme dány dva úhly trojúhelníku a délku jedné jeho strany a chceme dopočítat velikosti zbývajících stran. To je typická úloha při&nbsp;[[triangulace|triangulaci]].
 +
* Známe délky dvou stran trojúhelníku a velikost vnitřního úhlu který nesvírají, a chceme zjistit zbývající úhly. V&nbsp;tomto případě se ovšem stává, že nám věta poskytne dvojici řešení, z&nbsp;nichž však pouze jedno dává součet úhlů 180[[stupeň (úhel)|°]] a tedy umožní sestavit trojúhelník.
 +
 +
== Důkaz věty ==
 +
Mějme trojúhelník ''ABC''. Bod ''P'' je pata výšky ''v<sub>c</sub>''. Pak
 +
:<math>\left|CP\right| = \left|AC\right|\cdot \sin \alpha = b \cdot \sin \alpha</math>
 +
a zároveň
 +
:<math>\left|CP\right| = \left|BC\right|\cdot \sin \beta = a \cdot \sin \beta</math>.
 +
Pak tedy
 +
:<math>a \cdot \sin \beta = b \cdot \sin \alpha</math>,
 +
což je totéž jako
 +
:<math>\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta}</math>.
 +
Ostatní rovnosti lze získat cyklickou záměnou stran.
 +
 +
==== Čtverec ====
 +
 +
Jsou tedy 2 pravoúhlé trojúhelníky  nebo 4 pravoúhlé trojúhelníky s průmětem  dvou mi uhlopříček
 +
<math>sin(90) = 1  = sin(45)/sin(45)</math> 
 +
 +
tedy poloměr stran '''= 4:4 =1:1 a*a''' z toho lze vyvodit vzorec pro výpočet obsahu čtverce
 +
 +
<math>S=a^2</math>
 +
 +
== Průměr kružnice opsané trojúhelníku ==
 +
Konstantní [[poměr]] délek stran a jim protilehlých úhlů je zároveň '''průměrem kružnice danému trojúhelníku opsané'''. Tedy:
 +
:<math>\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma} = d</math>
 +
z&nbsp;čehož lze odvodit také její poloměr
 +
:<math>\frac{a}{2\cdot\sin \alpha} = \frac{b}{2\cdot\sin \beta} = \frac{c}{2\cdot\sin \gamma} = r</math>
 +
 +
== Související články ==
 +
* [[Kosinová věta]]
 +
* [[Tangentová věta]]
 +
* [[Pythagorova věta]]
 +
* [[Goniometrie]]
 +
 +
 +
{{Článek z Wikipedie}}
[[Kategorie:Goniometrie]]
[[Kategorie:Goniometrie]]
[[Kategorie:Matematické věty a důkazy]]
[[Kategorie:Matematické věty a důkazy]]
[[Kategorie:Trojúhelník]]
[[Kategorie:Trojúhelník]]

Verze z 5. 9. 2014, 08:31

Trojúhelník ABC

V trigonometrii je sinová věta důležité tvrzení o rovinných trojúhelnících. Nejčastěji zní takto:

Pro každý trojúhelník ABC s vnitřními úhly α, β, γ a stranami a, b, c platí:

<math>\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma}</math>.

Neboli: „Poměr všech délek stran a hodnot sinů jim protilehlých úhlů je v trojúhelníku konstantní.“

Větu lze ovšem zformulovat také takto:

<math>\frac{a}{b} = \frac{\sin \alpha}{\sin \beta}</math> , či takto: <math>\frac{b}{c} = \frac{\sin \beta}{\sin \gamma}</math> , nebo takto: <math>\frac{c}{a} = \frac{\sin \gamma}{\sin \alpha}</math>,

s významem: „Poměr délek stran trojúhelníku se rovná poměru sinů velikostí jim protilehlých úhlů.“

Věta se používá zejména v následujících dvou případech:

  • Máme dány dva úhly trojúhelníku a délku jedné jeho strany a chceme dopočítat velikosti zbývajících stran. To je typická úloha při triangulaci.
  • Známe délky dvou stran trojúhelníku a velikost vnitřního úhlu který nesvírají, a chceme zjistit zbývající úhly. V tomto případě se ovšem stává, že nám věta poskytne dvojici řešení, z nichž však pouze jedno dává součet úhlů 180° a tedy umožní sestavit trojúhelník.

Obsah

Důkaz věty

Mějme trojúhelník ABC. Bod P je pata výšky vc. Pak

<math>\left|CP\right| = \left|AC\right|\cdot \sin \alpha = b \cdot \sin \alpha</math>

a zároveň

<math>\left|CP\right| = \left|BC\right|\cdot \sin \beta = a \cdot \sin \beta</math>.

Pak tedy

<math>a \cdot \sin \beta = b \cdot \sin \alpha</math>,

což je totéž jako

<math>\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta}</math>.

Ostatní rovnosti lze získat cyklickou záměnou stran.

Čtverec

Jsou tedy 2 pravoúhlé trojúhelníky nebo 4 pravoúhlé trojúhelníky s průmětem dvou mi uhlopříček <math>sin(90) = 1 = sin(45)/sin(45)</math>

tedy poloměr stran = 4:4 =1:1 a*a z toho lze vyvodit vzorec pro výpočet obsahu čtverce

<math>S=a^2</math>

Průměr kružnice opsané trojúhelníku

Konstantní poměr délek stran a jim protilehlých úhlů je zároveň průměrem kružnice danému trojúhelníku opsané. Tedy:

<math>\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma} = d</math>

z čehož lze odvodit také její poloměr

<math>\frac{a}{2\cdot\sin \alpha} = \frac{b}{2\cdot\sin \beta} = \frac{c}{2\cdot\sin \gamma} = r</math>

Související články


Citováno z „http://ww.multimediaexpo.cz/mmecz/index.php/Sinov%C3%A1_v%C4%9Bta“