The English encyclopedia Allmultimedia.org will be launched in two phases.
The final launch of the Allmultimedia.org will take place on February 27, 2026
(shortly after the 2026 Winter Olympics).

Koeficient špičatosti

Z Multimediaexpo.cz

(Rozdíly mezi verzemi)
m (1 revizi)
(vylep.)
Řádka 1: Řádka 1:
-
{{Wikipedia-cs|Koeficient špičatosti|700}}
+
'''Koeficient špičatosti''' ('''excesu''') je [[charakteristika náhodné veličiny|charakteristika]] rozdělení [[náhodná veličina|náhodné veličiny]], která porovnává dané [[rozdělení pravděpodobnosti|rozdělení]] s [[normální rozdělení|normálním rozdělením pravděpodobnosti]].
 +
Koeficient špičatosti se obvykle označuje <math>\gamma_2</math>.
 +
 +
==Definice==
 +
Koeficient špičatosti je definován vztahem
 +
:<math>\gamma_2 = \frac{\mu_4}{\sigma^4} - 3 = \frac{\operatorname{E}[X-\operatorname{E}(X)]^4}{\left(\operatorname{var}\,X\right)^2} - 3</math>,
 +
kde <math>\mu_4</math> je čtvrtý [[centrální moment]], <math>\sigma</math> je [[směrodatná odchylka]], <math>\operatorname{E}(X)</math> označuje [[střední hodnota|střední hodnotu]] a <math>\operatorname{var}\,X</math> je [[rozptyl (statistika)|rozptyl]].
 +
==Vlastnosti==
 +
 +
[[Normální rozdělení]] má špičatost nula. Kladná špičatost značí, že většina hodnot náhodné veličiny leží blízko její [[střední hodnota|střední hodnoty]] a hlavní vliv
 +
na rozptyl mají málo pravděpodobné [[odlehlá hodnota|odlehlé hodnoty]]. Křivka [[Hustota rozdělení pravděpodobnosti|hustoty]] je špičatější, nežli u normálního rozdělení. Záporná špičatost značí, že rozdělení je rovnoměrnější a
 +
jeho křivka hustoty je plošší nežli u normálního rozdělení.
 +
 +
Špičatost rozdělení nezávisí na lineární transformaci náhodné veličiny, je tedy např. stejná pro všechna normální rozdělení.
 +
 +
==Výběrový koeficient špičatosti==
 +
 +
Výběrový koeficient špičatosti je definován vzorcem
 +
 +
:<math>g_2 = \frac{m_4}{m_2^2} = n\frac{\sum_{i=1}^n (x_i - \overline{x})^4}{\left(\sum_{i=1}^n (x_i - \overline{x})^2 \right)^2}</math>,
 +
 +
kde <math>\overline{x}</math> je [[Výběrový průměr|výběrový průměr]], <math>m_2</math> je [[výběrový rozptyl]] a <math>m_4</math> je čtvrtý [[Centrální moment#Výběrový centrální moment|výběrový centrální moment]].
 +
 +
Tento odhad je [[Vychýlený odhad|vychýlený]]. Méně vychýlené odhady dostaneme, když místo výběrových centrálních momentů použijeme nevychýlené odhady centrálních momentů:<ref>{{cite web|title=Estimating and Comparing Kurtosis and Skewness from and Arbitrary Population|url=http://www.misug.org/mifolder/LAn_Skewness_Kurtosis.pdf|publisher=Michigan SAS Users Group|accessdate=18 July 2011}}</ref>
 +
 +
<math>
 +
\begin{align}
 +
G_2 = \frac{M_4}{M_2^2} &= \frac{(n-1)}{(n-2)(n-3)}\left((n+1)g_2+6\right) \\
 +
b_2 = \frac{m_4}{M_2^2} &= \left(\frac{n-1}{n}\right)^2g_2 - 3
 +
\end{align}
 +
</math>
 +
 +
Pro rozptyly těchto odhadů platí <math>\operatorname{var}\,b_2 < \operatorname{var}\,g_2 < \operatorname{var}\,G_2</math>.
 +
 +
== Reference ==
 +
<references/>
 +
 +
 +
{{Článek z Wikipedie}}
[[Kategorie:Statistika]]
[[Kategorie:Statistika]]

Verze z 5. 3. 2015, 21:47

Koeficient špičatosti (excesu) je charakteristika rozdělení náhodné veličiny, která porovnává dané rozdělení s normálním rozdělením pravděpodobnosti.

Koeficient špičatosti se obvykle označuje <math>\gamma_2</math>.

Obsah

Definice

Koeficient špičatosti je definován vztahem

<math>\gamma_2 = \frac{\mu_4}{\sigma^4} - 3 = \frac{\operatorname{E}[X-\operatorname{E}(X)]^4}{\left(\operatorname{var}\,X\right)^2} - 3</math>,

kde <math>\mu_4</math> je čtvrtý centrální moment, <math>\sigma</math> je směrodatná odchylka, <math>\operatorname{E}(X)</math> označuje střední hodnotu a <math>\operatorname{var}\,X</math> je rozptyl.

Vlastnosti

Normální rozdělení má špičatost nula. Kladná špičatost značí, že většina hodnot náhodné veličiny leží blízko její střední hodnoty a hlavní vliv na rozptyl mají málo pravděpodobné odlehlé hodnoty. Křivka hustoty je špičatější, nežli u normálního rozdělení. Záporná špičatost značí, že rozdělení je rovnoměrnější a jeho křivka hustoty je plošší nežli u normálního rozdělení.

Špičatost rozdělení nezávisí na lineární transformaci náhodné veličiny, je tedy např. stejná pro všechna normální rozdělení.

Výběrový koeficient špičatosti

Výběrový koeficient špičatosti je definován vzorcem

<math>g_2 = \frac{m_4}{m_2^2} = n\frac{\sum_{i=1}^n (x_i - \overline{x})^4}{\left(\sum_{i=1}^n (x_i - \overline{x})^2 \right)^2}</math>,

kde <math>\overline{x}</math> je výběrový průměr, <math>m_2</math> je výběrový rozptyl a <math>m_4</math> je čtvrtý výběrový centrální moment.

Tento odhad je vychýlený. Méně vychýlené odhady dostaneme, když místo výběrových centrálních momentů použijeme nevychýlené odhady centrálních momentů:[1]

<math> \begin{align} G_2 = \frac{M_4}{M_2^2} &= \frac{(n-1)}{(n-2)(n-3)}\left((n+1)g_2+6\right) \\ b_2 = \frac{m_4}{M_2^2} &= \left(\frac{n-1}{n}\right)^2g_2 - 3 \end{align} </math>

Pro rozptyly těchto odhadů platí <math>\operatorname{var}\,b_2 < \operatorname{var}\,g_2 < \operatorname{var}\,G_2</math>.

Reference

  1. ↑ . Dostupné online.  


Citováno z „http://ww.multimediaexpo.cz/mmecz/index.php/Koeficient_%C5%A1pi%C4%8Datosti“