Algebraické číslo

Z Multimediaexpo.cz

(Rozdíly mezi verzemi)

Aktuální verze z 14. 8. 2022, 14:51

Algebraické číslo je každé komplexní číslo, které je kořenem nějakého polynomu (mnohočlenu) s racionálními koeficienty. Nejmenší stupeň polynomu, jehož je dané algebraické číslo kořenem, se nazývá stupeň tohoto algebraického čísla. Každé racionální číslo je algebraické.

Iracionální číslo \(\sqrt 2\) je algebraické číslo, neboť je řešením rovnice \(x^2-2=0\). Naopak Ludolfovo číslo \(\pi\) algebraické není, což dokázal roku 1882 Ferdinand von Lindemann. Taková čísla, která nejsou kořenem žádného polynomu s racionálními koeficienty, se nazývají transcendentní. Lze ukázat, že v jistém smyslu většina iracionálních čísel je transcendentních.

Z poznatků algebry a geometrie plyne, že pomocí kružítka a pravítka (bez stupnice) lze sestrojit právě a jen ty úsečky, jejichž délky jsou algebraická čísla stupně mocniny dvou. Z toho plyne neřešitelnost některých geometrických úloh jako je kvadratura kruhu, trisekce úhlu či duplikace krychle.

Analogie algebraického čísla pro jiná tělesa než racionální čísla se nazývá algebraický prvek.

Vlastnosti

Součet, rozdíl, součin a podíl algebraických čísel je opět algebraické číslo (vyjma dělení nulou), algebraická čísla jsou tedy na těchto operacích uzavřená a množina všech algebraických čísel tak tvoří těleso (splnění ostatních požadovaných vlastností operací kromě uzavřenosti vyplývá obecně z vlastností operací s komplexními čísly).
Kořeny polynomu, jehož koeficienty jsou algebraická čísla, jsou opět algebraická čísla.
Algebraických čísel je spočetně mnoho.

Externí odkazy

Algebraické číslo v encyklopedii MathWorld (anglicky)

Flickr.com nabízí fotografie, obrázky a videa k tématu
Algebraické číslo

Commons nabízí fotografie, obrázky a videa k tématu
Algebraické číslo

Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010
Informace o článku. Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. Tento text je dostupný za podmínek Creative Commons 3.0 Unported – creativecommons.org. Originální článek na české Wikipedii

@@ Řádka 1: / Řádka 1: @@
 '''Algebraické číslo''' je každé [[komplexní číslo]], které je kořenem nějakého [[polynom]]u (mnohočlenu) s [[racionální číslo|racionálními]] koeficienty. Nejmenší stupeň polynomu, jehož je dané algebraické číslo kořenem, se nazývá stupeň tohoto algebraického čísla. Každé [[racionální číslo]] je algebraické.
-[[Iracionální číslo]] <math>\sqrt 2</math> je algebraické číslo, neboť je řešením rovnice <math>x^2-2=0</math>. Naopak [[Pí (číslo)|Ludolfovo číslo]] <math>\pi</math> algebraické není, což dokázal roku 1882 Ferdinand von Lindemann. Taková čísla, která nejsou kořenem žádného polynomu s racionálními koeficienty, se nazývají [[transcendentní číslo|transcendentní]]. Lze ukázat, že v jistém smyslu většina iracionálních čísel je transcendentních.
+[[Iracionální číslo]] <big>\(\sqrt 2\)</big> je algebraické číslo, neboť je řešením rovnice <big>\(x^2-2=0\)</big>. Naopak [[Pí (číslo)|Ludolfovo číslo]] <big>\(\pi\)</big> algebraické není, což dokázal roku 1882 Ferdinand von Lindemann. Taková čísla, která nejsou kořenem žádného polynomu s racionálními koeficienty, se nazývají [[transcendentní číslo|transcendentní]]. Lze ukázat, že v jistém smyslu většina iracionálních čísel je transcendentních.
 Z poznatků [[algebra|algebry]] a [[geometrie]] plyne, že pomocí kružítka a pravítka (bez stupnice) lze sestrojit právě a jen ty úsečky, jejichž délky jsou algebraická čísla stupně mocniny dvou. Z toho plyne neřešitelnost některých geometrických úloh jako je [[kvadratura kruhu]], [[trisekce úhlu]] či [[duplikace krychle]].