Meneláova věta

Z Multimediaexpo.cz

(Rozdíly mezi verzemi)

Aktuální verze z 14. 8. 2022, 14:52

Příklad přímky EDF v případě, kdy protíná trojúhelník

Příklad přímky EDF v případě, kdy neprotíná trojúhelník

Meneláova věta je tvrzení o trojúhelnících tradičně připisované starořeckému matematikovi Meneláovi Alexandrijskému. Je podobné Cévově větě.

Znění Meneláovy věty

Máme-li dány body A,B a C, které tvoří trojúhelník ABC, a jiné body D, E a F, které leží na přímkách BC, AC a AB, pak body D, E a F leží na přímce právě tehdy, když platí

\(\frac{AF}{FB} \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} = 1\)

V tomto výrazu uvažujeme délky úseček se znaménkem, které je dáno tím, nacházejí-li se body D, E a F uvnitř patřičných úseček, nebo vně. Například podíl AF/FB je kladný právě tehdy, pokud bod F leží na úsečce AB.

Důkaz

Nejdříve ověříme znaménko levé strany a ukážeme, že musí být vždy záporné. To plyne z toho, že přímka buď trojúhelník neprotne vůbec, nebo jej protne právě ve dvou bodech (viz Paschův axiom). Na levé straně je tedy lichý počet záporných zlomků a jejich součin bude vždy záporný.

Spustíme kolmice a, b a c z bodů A, B a C na přímku DEF. Z podobnosti trojúhelníků plyne, že

\(\frac{|AF|}{|BF|}=\frac{a}{b}\)

\(\frac{|BD|}{|CD|}=\frac{b}{c}\)

\(\frac{|CE|}{|AE|}=\frac{c}{a}\)

tedy

\(\left|\frac{AF}{FB} \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA}\right| = \left|\frac{abc}{abc}\right|= 1\)

Ještě zbývá dokázat, že pokud by body na přímce neležely, pak rovnost neplatí. Uvažujme bod X na přímce AB, který je různý od bodu F. Označme AF, AX a AB po řadě jako n, n', s. Předpokládejme, že rovnost platí i pro X. Pak platí

\(\frac{AF}{FB} = \frac{AX}{XB},\)

neboli

\(\frac{n}{s-n} =\frac{n'}{s-n'},\)

odkud uvedením na společného jmenovatele a zjednodušením dostaneme \(n=n'\). Tedy \(F=X\), čímž je důkaz hotov.

Externí odkazy

Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010
Informace o článku. Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. Tento text je dostupný za podmínek Creative Commons 3.0 Unported – creativecommons.org. Originální článek na české Wikipedii

@@ Řádka 5: / Řádka 5: @@
 == Znění Meneláovy věty ==
 Máme-li dány [[bod]]y A,B a C, které tvoří [[trojúhelník]] ABC, a jiné body D, E a F, které leží na [[přímka|přímkách]] BC, AC a AB, pak body D, E a F leží na přímce právě tehdy, když platí
-:<math>\frac{AF}{FB}  \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} = 1</math>
+:<big>\(\frac{AF}{FB}  \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} = 1\)</big>
 V tomto výrazu uvažujeme délky [[úsečka|úseček]] se znaménkem, které je dáno tím, nacházejí-li se body D, E a F uvnitř patřičných úseček, nebo vně. Například podíl AF/FB je kladný právě tehdy, pokud bod F leží na úsečce AB.
@@ Řádka 16: / Řádka 16: @@
 Spustíme [[kolmice]] a, b a c z bodů A, B a C na přímku DEF. Z [[podobnost trojúhelníků|podobnosti trojúhelníků]] plyne, že
-:<math>\frac{|AF|}{|BF|}=\frac{a}{b}</math>
+:<big>\(\frac{|AF|}{|BF|}=\frac{a}{b}\)</big>
-:<math>\frac{|BD|}{|CD|}=\frac{b}{c}</math>
+:<big>\(\frac{|BD|}{|CD|}=\frac{b}{c}\)</big>
-:<math>\frac{|CE|}{|AE|}=\frac{c}{a}</math>
+:<big>\(\frac{|CE|}{|AE|}=\frac{c}{a}\)</big>
 tedy
-:<math>\left|\frac{AF}{FB}  \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA}\right| = \left|\frac{abc}{abc}\right|= 1</math>
+:<big>\(\left|\frac{AF}{FB}  \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA}\right| = \left|\frac{abc}{abc}\right|= 1\)</big>
 Ještě zbývá dokázat, že pokud by body na přímce neležely, pak rovnost neplatí. Uvažujme bod X na přímce AB, který je různý od bodu F. Označme AF, AX a AB po řadě jako n, n', s. Předpokládejme, že rovnost platí i pro X. Pak platí
-:<math>\frac{AF}{FB} = \frac{AX}{XB},</math>
+:<big>\(\frac{AF}{FB} = \frac{AX}{XB},\)</big>
 neboli
-:<math>\frac{n}{s-n} =\frac{n'}{s-n'},</math>
+:<big>\(\frac{n}{s-n} =\frac{n'}{s-n'},\)</big>
-odkud uvedením na společného jmenovatele a zjednodušením dostaneme <math>n=n'</math>. Tedy <math>F=X</math>, čímž je důkaz hotov.
+odkud uvedením na společného jmenovatele a zjednodušením dostaneme <big>\(n=n'\)</big>. Tedy <big>\(F=X\)</big>, čímž je důkaz hotov.
 == Externí odkazy ==