Hölderova nerovnost

Z Multimediaexpo.cz

Verze z 3. 3. 2019, 11:53

Hölderova nerovnost je důležitou nerovností v matematické analýze, významnou zejména při zkoumání L^p prostorů.

Znění

Na prostoru s mírou <math>(X, \Sigma, \mu)</math> mějme μ-měřitelné funkce <math>f, g</math> na <math>X</math>. Dále nechť existují čísla <math>1 \le p, q \le \infty</math>, taková, že: <math>1/p + 1/q = 1</math>. Pak platí:

<math>\|f \cdot g \|_1 \le \|f\|_p \cdot \|g\|_q</math>.

Důležité speciální případy

Pro následující případy předpokládejme, že <math>1 < p,q < \infty</math> a <math>1/p+1/q = 1</math>.

Aritmetická míra

V případě <math>n</math>-rozměrného Eukleidovského prostoru <math>a_k, b_k \in \mathbb{C}^n</math>, s množinou <math> X = \{1, ..., n\}</math> a <math>\mu</math> aritmetickou mírou dostáváme:

<math>\sum_{k=1}^n|a_kb_k|\leq\left(\sum_{k=1}^n|a_k|^p\right)^{1/p} \left(\sum_{k=1}^n|b_k|^q\right)^{1/q}</math>.

Rovnost nastává, právě když <math>|b_k|=c|a_k|^{p-1}</math>.

L^p prostory

Pokud <math>f \in L^p(X), g \in L^q(X)</math>, tak <math>f \cdot g \in L^1(X)</math> a navíc:

<math>\int_X |f \cdot g | \, \mathrm{d} \mu \le \left(\int_X |f|^p \, \mathrm{d} \mu \right)^{1/p} \cdot \left(\int_X |g|^q \, \mathrm{d} \mu \right)^{1/q}</math>

Pro <math>p = q = 2</math> pak dostáváme Cauchyho–Schwarzovu nerovnost, Hölderova nerovnost je tedy jejím zobecněním.

Důkaz

Je důsledkem Youngovy nerovnosti, která se dá formulovat i takto: Pro všechna reálná čísla r, s a <math>x\in<0,1></math> platí <math>xr+(1-x)s\geq r^xs^{1-x}</math>.
Rovnost nastává, právě když r=s nebo <math>x\in\{0,1\}</math>. Sečtením těchto nerovností dostaneme požadovanou Hölderovu nerovnost.