V sobotu 2. listopadu proběhla mohutná oslava naší plnoletosti !!
Multimediaexpo.cz je již 18 let na českém internetu !!
V tiskové zprávě k 18. narozeninám brzy najdete nové a zásadní informace.

Normální podgrupa

Z Multimediaexpo.cz

(Rozdíly mezi verzemi)
m (1 revizi)
(+ Aktualizace)
 
Řádka 1: Řádka 1:
-
{{Wikipedia-cs|Normální podgrupa|700}}
+
'''Normální podgrupa''' (také '''invariantní podgrupa''' nebo '''samokonjugovaná podgrupa''' <big>\(\mathbb{P}\)</big> [[Grupa|grupy]] <big>\((\mathbb{G},\cdot)\)</big> je taková její [[podgrupa]], pro kterou navíc platí
 +
:<big>\(\forall g \in \mathbb{G} \quad g \cdot \mathbb{P} \equiv \{g \cdot p, p \in \mathbb{P} \} = \{p \cdot g, p \in \mathbb{P} \} \equiv \mathbb{P} \cdot g \)</big>
 +
V [[abstraktní algebra|abstraktní algebře]] je normální [[podgrupa]] podgrupou, která je invariantní vůči [[Vnitřní automorfismus|konjugaci]] s každým prvkem původní grupy. Jinými slovy, podgrupa ''H'' grupy ''G'' je v ''G'' normální jen potud, pokud ''gH=Hg'' pro všechna ''g'' v ''G''.
 +
První, kdo si uvědomil význam normálních podgrup, byl <u>Évariste Galois</u> (* 25. října 1811, † 31. května 1832).
 +
 +
== Jiné definice ==
 +
Podmínku <big>\(\forall g \in \mathbb{G} \quad g \cdot \mathbb{P} = \mathbb{P} \cdot g \)</big> lze přepsat do tvaru <big>\(\forall g \in \mathbb{G} \quad g \cdot \mathbb{P} \cdot g^{-1} = \mathbb{P}\)</big>. Z toho můžeme odvodit následující ekvivalentní definici normální podgrupy:
 +
 +
<big>\(\mathbb{P}\)</big> je normální podgrupa <big>\((\mathbb{G},\cdot)\)</big>, pokud je to její podgrupa a navíc platí
 +
:<big>\(\forall g \in \mathbb{G}, p \in \mathbb{P} \quad g \cdot p \cdot g^{-1} \in \mathbb{P}\)</big>.
 +
 +
Z tohoto vztahu plyne, že <big>\( g \cdot \mathbb{P} \cdot g^{-1} \subseteq \mathbb{P}\)</big>, a protože platí i pro <big>\(g^{-1}\)</big>: <big>\(g^{-1} \cdot \mathbb{P} \cdot g \subseteq \mathbb{P} \Leftrightarrow \mathbb{P} \subseteq g \cdot \mathbb{P} \cdot g^{-1}\)</big>, je ekvivalentní <big>\(\quad g \cdot \mathbb{P} \cdot g^{-1} = \mathbb{P}\)</big>.
 +
 +
Proto se také někdy normální podgrupě říká '''invariantní''' vůči vnitřním automorfismům <big>\(p \mapsto g \cdot p \cdot g^{-1}\)</big>.
 +
 +
Podgrupa ''N'' grupy ''G'' se nazývá normální podgrupou, pokud je neměnná v [[Vnitřní automorfismus|konjugaci]], tzn.: Pro každý prvek ''n'' v ''N'' a ''g'' v ''G'', prvek ''gng<sup>−1</sup>'' je stále součástí ''N''. Zápis:
 +
<big>\(N \triangleleft G\,\,\Leftrightarrow\,\forall\,n\in{N},\forall\,g\in{G},\, gng^{-1}\in{N}.\)</big>
 +
 +
Jakákoliv podgrupa, která splňuje následující podmínky, je normální. Každá může tedy být brána jako definice:
 +
* Pro všechna ''g'' v ''G'': ''gNg<sup>−1</sup> ⊆ N''
 +
* Pro všechna ''g'' v ''G'': ''gNg−1 = N''
 +
* Pravý a levý soubor třídy ekvivalentních prvků ''N'' v ''G'' se shodují.
 +
* Pro všechna ''g'' v ''G'': ''gN = Ng''
 +
* ''N'' je sjednocením konjugačních tříd v ''G''.
 +
* Existuje jistý homomorfismus, jehož je ''N'' jádrem.
 +
 +
Poslední podmínka objasňuje důležitost normální podgrupy – ta je způsobem, jak vnitřně klasifikovat všechny homomorfismy definované uvnitř [[grupa|grupy]]. Např. neidentická konečná grupa je jednoduchá, pouze pokud je [[Izomorfismus|izomorfní]] vůči všem svým neidentickým homomorfním obrazům, konečná grupa je ideální pouze pokud nemá normální podgrupy primárního či prvočíselného exponentu, a grupa je neideální pouze pokud odvozená podgrupa není doplněna žádnou správnou normální podgrupou.
 +
 +
== Příklady normálních podgrup ==
 +
* [[Homomorfismus|Jádro homomorfismu]] <big>\(\varphi:\mathbb{G} \to \mathbb{H}\)</big> je normální podgrupou, protože pokud <big>\(p\)</big> je prvkem jádra, tedy platí-li <big>\(\varphi(p) = e_{\mathbb{H}}\)</big>, pak i <big>\(\varphi(g \cdot p \cdot g^{-1}) = \varphi(g) \varphi(p) \varphi(g)^{-1} = \varphi(g) \varphi(g)^{-1} = e_{\mathbb{H}}\)</big> a tedy i <big>\(g \cdot p \cdot g^{-1}\)</big> je prvkem jádra.
 +
 +
* Podgrupa {e} skládající se pouze z identické části ''G'' a ''G'' je vždy normální podgrupou ''G''. Prvně jmenovaná se nazývá triviální podgrupa a jestliže je jen normální podgrupou, ''G'' se nazývá jednoduchá podgrupa.
 +
 +
* Středem grupy je normální podgrupa.
 +
* Komutativní podgrupa je normální podgrupa.
 +
* Obecně, jakákoliv typická podgrupa je normální, protože konjugace je vždy homomorfní.
 +
* Všechny podgrupy ''N'' komutativní grupy ''G'' jsou normální, protože ''gN = Ng''. Grupa, která není komutativní, ale pro niž je každá podgrupa normální se nazývá Hamiltonova grupa.
 +
* Měnící se grupa v jakékoliv dimenzi je normální podgrupa Euklidovské grupy; např. ve 3D výsledkem rotace, změny a zpětné rotace je pouze změna (změna viděna v zrcadle se jeví jako změna se zrcadlově obráceným změnovým vektorem.) Změna o určitou vzdálenost jakýmkoliv směrem tvoří konjugační skupinu; změnová skupina je sjednocením skupin pro všechny vzdálenosti.
 +
* V grupě Rubikovy kostky, podgrupa skládající se z operací, které ovlivňují pouze rohové kostky, je normální, protože žádná konjugační transformace nemůže způsobit, aby transformace ovlivnila okrajové kostky místo rohových. Naopak, podgrupa skládající se z otáčení horní plochy není normální, protože konjugační transformace může přesunout horní části na spodní plochu a tedy ne všechny konjugáty prvků této grupy jsou obsaženy v podgrupě.
 +
 +
== Centrum grupy ==
 +
Mějme grupu <big>\(G\)</big>. Její podmnožina <big>\(Z(G)\)</big> všech [[Prvek množiny|prvků]] <big>\(s\)</big> takových, že pro všechna <big>\(g \in G\)</big> platí <big>\(s \cdot g = g \cdot s\)</big>, se nazývá '''centrum grupy''' <big>\(G\)</big>. Centrum grupy <big>\(G\)</big> je normální podgrupou grupy <big>\(G\)</big>.
 +
 +
== Vlastnosti ==
 +
* Normalita je udržována v surjektivním [[homomorfismus|homomorfismu]], a je také udržována tím, že nabývá inverzních obrazů.
 +
* Normální podgrupa normální podgrupy určité grupy nemusí být normální. Tedy, normalita není tranzitivní vztah. Avšak, charakteristická podgrupa normální podgrupy je normální. Rovněž, normální podgrupa ústředního činitele je normální, zejména normální podgrupa přímého činitele je normální.
 +
* Každá podgrupa indexu 2 je normální. Obecně, podgrupa ''H'' konečného exponentu ''n'' v ''G'' obsahuje podgrupu ''K'' normální v ''G'' a exponentem dělícím ''n!'' se nazývá normální jádro. Zejména je-li ''p'' nejmenší [[prvočíslo]] dělící třídu ''G'', pak každá podgrupa exponentu ''p'' je normální.
 +
 +
== Svaz normálních podgrup ==
 +
Normální podgrupy grupy ''G'' tvoří mřížku [[Podmnožina|podmnožiny]] zahrnující [[Nejmenší a největší prvek|nejmenší prvek]] {e} a největší prvek ''G''. Jsou dány dvě normální podgrupy ''N'' a ''M'' v ''G'', průnik je definován jako
 +
* <big>\(N \wedge M := N \cap M\)</big>
 +
a logický součet jako
 +
* <big>\(N \vee M := N M = \{nm \,|\, n \in N \text{, and } m \in M\}.\)</big>
 +
 +
Mřížka je kompletní a modulární.
 +
 +
== Normální podgrupa a homomorfismus ==
 +
Jestliže ''N'' je normální podgrupa, můžeme definovat násobky třídy ekvivalentních prvků jako
 +
 +
(''a''<sub>1</sub>''N'')(''a''<sub>2</sub>''N'') := (''a''<sub>1</sub>''a''<sub>2</sub>)''N''.
 +
 +
Toto mění soubor třídy ekvivalentních prvků na grupu nazývanou kvocientní grupa ''G/N''. Existuje přirozený homomorfismus ''f: G → G/N'' daný ''f(a) = aN''. Obraz ''f(N)'' se skládá pouze z identických prvků ''G/N'', třídy ekvivalentních prvků ''eN = N''.
 +
 +
Obecně, homomorfismus grupy ''f: G → H'' převádí podgrupu ''G'' na podgrupu ''H''. Rovněž, předobraz jakékoliv podgrupy H je podgrupou ''G''. Předobraz triviální podgrupy {e} v ''H'' nazýváme [[jádro homomorfismu|jádrem homomorfismu]] a označujeme ho ''ker(f)''. Ukazuje se, že jádro je vždy normální a obraz ''f(G)'' v ''G'' je vždy isomorfní vůči ''G/ker(f)'' (první isomorfní teorém). V podstatě je tento soulad rozdělením mezi skupinou všech kvocientních grup ''G/N'' v ''G'' a skupiny homomorfních obrazů v ''G''. Můžeme také vidět, že jádro jako kvocientní mapy, ''f: G → G/N'', je ''N'', čímž jsme ukázali, že normální podgrupy jsou přesně jádry homomorfismu s doménou ''G''.
 +
 +
== Reference ==
 +
* {{Citace periodika
 +
| příjmení = Bergvall
 +
| jméno = Olof
 +
| příjmení2 = Hynning
 +
| jméno2 = Elin
 +
| příjmení3 = Hedberg
 +
| jméno3 = Mikael
 +
| příjmení4 = Mickelin
 +
| jméno4 = Joel
 +
| příjmení5 = Masawe
 +
| jméno5 = Patrick
 +
| titul = On Rubik's Cube
 +
| datum = 16 May 2010
 +
| vydavatel = [[KTH Royal Institute of Technology|KTH]]
 +
| url = https://people.kth.se/~boij/kandexjobbVT11/Material/rubikscube.pdf
 +
| ref = harv
 +
}}
 +
* {{Citace monografie
 +
| příjmení = Cantrell
 +
| jméno = C.D.
 +
| titul = Modern Mathematical Methods for Physicists and Engineers
 +
| url = https://archive.org/details/modernmathematic0000cant
 +
| url-access = registration
 +
| vydavatel = Cambridge University Press
 +
| rok = 2000
 +
| isbn = 978-0-521-59180-5
 +
| ref = harv
 +
}}
 +
* {{Citace monografie
 +
| příjmení = Dõmõsi
 +
| jméno = Pál
 +
| příjmení2 = Nehaniv
 +
| jméno2 = Chrystopher L.
 +
| titul = Algebraic Theory of Automata Networks
 +
| edice = SIAM Monographs on Discrete Mathematics and Applications
 +
| vydavatel = SIAM
 +
| rok = 2004
 +
| ref = harv
 +
}}
 +
* {{Citace monografie
 +
| příjmení = Dummit
 +
| jméno = David S.
 +
| příjmení2 = Foote
 +
| jméno2 = Richard M.
 +
| titul = Abstract Algebra
 +
| vydavatel = John Wiley & Sons
 +
| rok = 2004
 +
| vydání = 3
 +
| isbn = 0-471-43334-9
 +
| ref = harv
 +
}}
 +
* {{Citace monografie
 +
| příjmení = Fraleigh
 +
| jméno = John B.
 +
| titul = A First Course in Abstract Algebra
 +
| url = https://archive.org/details/firstcourseinabs07edfral
 +
| vydavatel = Addison-Wesley
 +
| rok = 2003
 +
| vydání = 7
 +
| isbn = 978-0-321-15608-2
 +
| ref = harv
 +
}}
 +
* {{Citace monografie
 +
| příjmení = Hall
 +
| jméno = Marshall
 +
| titul = The Theory of Groups
 +
| vydavatel = Chelsea Publishing
 +
| místo = Providence
 +
| rok = 1999
 +
| isbn = 978-0-8218-1967-8
 +
| ref = harv
 +
}}
 +
* {{Citace monografie
 +
| příjmení = Hungerford
 +
| jméno = Thomas
 +
| titul = Algebra
 +
| edice = Graduate Texts in Mathematics
 +
| vydavatel = Springer
 +
| rok = 2003
 +
| ref = harv
 +
}}
 +
* {{Citace monografie
 +
| příjmení = Judson
 +
| jméno = Thomas W.
 +
| titul = Abstract Algebra: Theory and Applications
 +
| rok = 2020
 +
| url = http://abstract.ups.edu/aata/aata.html
 +
| ref = harv
 +
}}
 +
* {{Citace monografie
 +
| příjmení = Robinson
 +
| jméno = Derek J. S.
 +
| titul = A Course in the Theory of Groups
 +
| ročník = 80
 +
| edice = Graduate Texts in Mathematics
 +
| vydavatel = Springer-Verlag
 +
| rok = 1996
 +
| isbn = 978-1-4612-6443-9
 +
| zbl = 0836.20001
 +
| vydání = 2
 +
| ref = harv
 +
}}
 +
* {{Citace monografie
 +
| příjmení = Thurston
 +
| jméno = William
 +
| odkaz na autora = William Thurston
 +
| titul = Three-dimensional geometry and topology, Vol. 1
 +
| url = https://archive.org/details/threedimensional0001thur
 +
| příjmení editora = Levy
 +
| jméno editora = Silvio
 +
| edice = Princeton Mathematical Series
 +
| vydavatel = Princeton University Press
 +
| rok = 1997
 +
| isbn = 978-0-691-08304-9
 +
| ref = harv
 +
}}
 +
* {{Citace monografie
 +
| příjmení = Bradley
 +
| jméno = C. J.
 +
| titul = The mathematical theory of symmetry in solids : representation theory for point groups and space groups
 +
| vydavatel = Clarendon Press
 +
| místo = Oxford New York
 +
| rok = 2010
 +
| isbn = 978-0-19-958258-7
 +
| oclc = 859155300
 +
| ref = harv
 +
}}
 +
=== Literatura ===
 +
* {{Citace monografie
 +
| jméno = I. N.
 +
| příjmení = Herstein
 +
| titul = Topics in algebra
 +
| vydání = 2
 +
| vydavatel = Xerox College Publishing
 +
| místo = Lexington, Mass.-Toronto, Ont.
 +
| rok = 1975
 +
| počet stran = xi+388 pp
 +
| ref = harv
 +
}}
 +
* {{Citace monografie
 +
| jméno = David S.
 +
| příjmení = Dummit
 +
| jméno2 = Richard M.
 +
| příjmení2 = Foote
 +
| titul = Abstract algebra
 +
| vydavatel = Prentice Hall, Inc.
 +
| místo = Englewood Cliffs, NJ
 +
| rok = 1991
 +
| počet stran = xiv, 658
 +
| isbn = 0-13-004771-6
 +
| ref = harv
 +
}}
 +
 +
== Související články ==
 +
* [[Faktorgrupa]]
 +
 +
== Externí odkazy ==
 +
* [https://web.archive.org/web/20041225000824/http://www.kolej.mff.cuni.cz/~lmotm275/skripta/mzahrad/node17.html Skripta Pěstujeme lineární algebru]
 +
* {{MathWorld|urlname=NormalSubgroup|title= normal subgroup}}
 +
* [http://eom.springer.de/N/n067690.htm Normal subgroup in Springer's Encyclopedia of Mathematics]
 +
* [http://www.math.uiuc.edu/~r-ash/Algebra/Chapter1.pdf Robert Ash: Group Fundamentals in ''Abstract Algebra. The Basic Graduate Year'']
 +
* [http://math.ucr.edu/home/baez/normal.html John Baez, What's a Normal Subgroup?]
 +
 +
 +
{{Článek z Wikipedie}}
[[Kategorie:Algebraické struktury]]
[[Kategorie:Algebraické struktury]]

Aktuální verze z 12. 4. 2024, 08:42

Normální podgrupa (také invariantní podgrupa nebo samokonjugovaná podgrupa \(\mathbb{P}\) grupy \((\mathbb{G},\cdot)\) je taková její podgrupa, pro kterou navíc platí

\(\forall g \in \mathbb{G} \quad g \cdot \mathbb{P} \equiv \{g \cdot p, p \in \mathbb{P} \} = \{p \cdot g, p \in \mathbb{P} \} \equiv \mathbb{P} \cdot g \)

V abstraktní algebře je normální podgrupa podgrupou, která je invariantní vůči konjugaci s každým prvkem původní grupy. Jinými slovy, podgrupa H grupy G je v G normální jen potud, pokud gH=Hg pro všechna g v G.

První, kdo si uvědomil význam normálních podgrup, byl Évariste Galois (* 25. října 1811, † 31. května 1832).

Obsah

Jiné definice

Podmínku \(\forall g \in \mathbb{G} \quad g \cdot \mathbb{P} = \mathbb{P} \cdot g \) lze přepsat do tvaru \(\forall g \in \mathbb{G} \quad g \cdot \mathbb{P} \cdot g^{-1} = \mathbb{P}\). Z toho můžeme odvodit následující ekvivalentní definici normální podgrupy:

\(\mathbb{P}\) je normální podgrupa \((\mathbb{G},\cdot)\), pokud je to její podgrupa a navíc platí

\(\forall g \in \mathbb{G}, p \in \mathbb{P} \quad g \cdot p \cdot g^{-1} \in \mathbb{P}\).

Z tohoto vztahu plyne, že \( g \cdot \mathbb{P} \cdot g^{-1} \subseteq \mathbb{P}\), a protože platí i pro \(g^{-1}\): \(g^{-1} \cdot \mathbb{P} \cdot g \subseteq \mathbb{P} \Leftrightarrow \mathbb{P} \subseteq g \cdot \mathbb{P} \cdot g^{-1}\), je ekvivalentní \(\quad g \cdot \mathbb{P} \cdot g^{-1} = \mathbb{P}\).

Proto se také někdy normální podgrupě říká invariantní vůči vnitřním automorfismům \(p \mapsto g \cdot p \cdot g^{-1}\).

Podgrupa N grupy G se nazývá normální podgrupou, pokud je neměnná v konjugaci, tzn.: Pro každý prvek n v N a g v G, prvek gng−1 je stále součástí N. Zápis: \(N \triangleleft G\,\,\Leftrightarrow\,\forall\,n\in{N},\forall\,g\in{G},\, gng^{-1}\in{N}.\)

Jakákoliv podgrupa, která splňuje následující podmínky, je normální. Každá může tedy být brána jako definice:

  • Pro všechna g v G: gNg−1 ⊆ N
  • Pro všechna g v G: gNg−1 = N
  • Pravý a levý soubor třídy ekvivalentních prvků N v G se shodují.
  • Pro všechna g v G: gN = Ng
  • N je sjednocením konjugačních tříd v G.
  • Existuje jistý homomorfismus, jehož je N jádrem.

Poslední podmínka objasňuje důležitost normální podgrupy – ta je způsobem, jak vnitřně klasifikovat všechny homomorfismy definované uvnitř grupy. Např. neidentická konečná grupa je jednoduchá, pouze pokud je izomorfní vůči všem svým neidentickým homomorfním obrazům, konečná grupa je ideální pouze pokud nemá normální podgrupy primárního či prvočíselného exponentu, a grupa je neideální pouze pokud odvozená podgrupa není doplněna žádnou správnou normální podgrupou.

Příklady normálních podgrup

  • Jádro homomorfismu \(\varphi:\mathbb{G} \to \mathbb{H}\) je normální podgrupou, protože pokud \(p\) je prvkem jádra, tedy platí-li \(\varphi(p) = e_{\mathbb{H}}\), pak i \(\varphi(g \cdot p \cdot g^{-1}) = \varphi(g) \varphi(p) \varphi(g)^{-1} = \varphi(g) \varphi(g)^{-1} = e_{\mathbb{H}}\) a tedy i \(g \cdot p \cdot g^{-1}\) je prvkem jádra.
  • Podgrupa {e} skládající se pouze z identické části G a G je vždy normální podgrupou G. Prvně jmenovaná se nazývá triviální podgrupa a jestliže je jen normální podgrupou, G se nazývá jednoduchá podgrupa.
  • Středem grupy je normální podgrupa.
  • Komutativní podgrupa je normální podgrupa.
  • Obecně, jakákoliv typická podgrupa je normální, protože konjugace je vždy homomorfní.
  • Všechny podgrupy N komutativní grupy G jsou normální, protože gN = Ng. Grupa, která není komutativní, ale pro niž je každá podgrupa normální se nazývá Hamiltonova grupa.
  • Měnící se grupa v jakékoliv dimenzi je normální podgrupa Euklidovské grupy; např. ve 3D výsledkem rotace, změny a zpětné rotace je pouze změna (změna viděna v zrcadle se jeví jako změna se zrcadlově obráceným změnovým vektorem.) Změna o určitou vzdálenost jakýmkoliv směrem tvoří konjugační skupinu; změnová skupina je sjednocením skupin pro všechny vzdálenosti.
  • V grupě Rubikovy kostky, podgrupa skládající se z operací, které ovlivňují pouze rohové kostky, je normální, protože žádná konjugační transformace nemůže způsobit, aby transformace ovlivnila okrajové kostky místo rohových. Naopak, podgrupa skládající se z otáčení horní plochy není normální, protože konjugační transformace může přesunout horní části na spodní plochu a tedy ne všechny konjugáty prvků této grupy jsou obsaženy v podgrupě.

Centrum grupy

Mějme grupu \(G\). Její podmnožina \(Z(G)\) všech prvků \(s\) takových, že pro všechna \(g \in G\) platí \(s \cdot g = g \cdot s\), se nazývá centrum grupy \(G\). Centrum grupy \(G\) je normální podgrupou grupy \(G\).

Vlastnosti

  • Normalita je udržována v surjektivním homomorfismu, a je také udržována tím, že nabývá inverzních obrazů.
  • Normální podgrupa normální podgrupy určité grupy nemusí být normální. Tedy, normalita není tranzitivní vztah. Avšak, charakteristická podgrupa normální podgrupy je normální. Rovněž, normální podgrupa ústředního činitele je normální, zejména normální podgrupa přímého činitele je normální.
  • Každá podgrupa indexu 2 je normální. Obecně, podgrupa H konečného exponentu n v G obsahuje podgrupu K normální v G a exponentem dělícím n! se nazývá normální jádro. Zejména je-li p nejmenší prvočíslo dělící třídu G, pak každá podgrupa exponentu p je normální.

Svaz normálních podgrup

Normální podgrupy grupy G tvoří mřížku podmnožiny zahrnující nejmenší prvek {e} a největší prvek G. Jsou dány dvě normální podgrupy N a M v G, průnik je definován jako

  • \(N \wedge M := N \cap M\)

a logický součet jako

  • \(N \vee M := N M = \{nm \,|\, n \in N \text{, and } m \in M\}.\)

Mřížka je kompletní a modulární.

Normální podgrupa a homomorfismus

Jestliže N je normální podgrupa, můžeme definovat násobky třídy ekvivalentních prvků jako

(a1N)(a2N) := (a1a2)N.

Toto mění soubor třídy ekvivalentních prvků na grupu nazývanou kvocientní grupa G/N. Existuje přirozený homomorfismus f: G → G/N daný f(a) = aN. Obraz f(N) se skládá pouze z identických prvků G/N, třídy ekvivalentních prvků eN = N.

Obecně, homomorfismus grupy f: G → H převádí podgrupu G na podgrupu H. Rovněž, předobraz jakékoliv podgrupy H je podgrupou G. Předobraz triviální podgrupy {e} v H nazýváme jádrem homomorfismu a označujeme ho ker(f). Ukazuje se, že jádro je vždy normální a obraz f(G) v G je vždy isomorfní vůči G/ker(f) (první isomorfní teorém). V podstatě je tento soulad rozdělením mezi skupinou všech kvocientních grup G/N v G a skupiny homomorfních obrazů v G. Můžeme také vidět, že jádro jako kvocientní mapy, f: G → G/N, je N, čímž jsme ukázali, že normální podgrupy jsou přesně jádry homomorfismu s doménou G.

Reference

  • BERGVALL, Olof; HYNNING, Elin; HEDBERG, Mikael. On Rubik's Cube. Parametr "periodikum" je povinný!, 16 May 2010. Dostupné online.  
  • CANTRELL, C.D.. Modern Mathematical Methods for Physicists and Engineers. [s.l.] : Cambridge University Press, 2000. Dostupné online. ISBN 978-0-521-59180-5.  
  • DÕMÕSI, Pál; NEHANIV, Chrystopher L.. Algebraic Theory of Automata Networks. [s.l.] : SIAM, 2004. (SIAM Monographs on Discrete Mathematics and Applications.)  
  • DUMMIT, David S.; FOOTE, Richard M.. Abstract Algebra. 3. vyd. [s.l.] : John Wiley & Sons, 2004. ISBN 0-471-43334-9.  
  • FRALEIGH, John B.. A First Course in Abstract Algebra. 7. vyd. [s.l.] : Addison-Wesley, 2003. Dostupné online. ISBN 978-0-321-15608-2.  
  • HALL, Marshall. The Theory of Groups. Providence : Chelsea Publishing, 1999. ISBN 978-0-8218-1967-8.  
  • HUNGERFORD, Thomas. Algebra. [s.l.] : Springer, 2003. (Graduate Texts in Mathematics.)  
  • JUDSON, Thomas W.. Abstract Algebra: Theory and Applications. [s.l.] : [s.n.], 2020. Dostupné online.  
  • ROBINSON, Derek J. S.. A Course in the Theory of Groups. 2. vyd. [s.l.] : Springer-Verlag, 1996. (Graduate Texts in Mathematics.) ISBN 978-1-4612-6443-9.  
  • THURSTON, William. Three-dimensional geometry and topology, Vol. 1. [s.l.] : Princeton University Press, 1997. (Princeton Mathematical Series.) Dostupné online. ISBN 978-0-691-08304-9.  
  • BRADLEY, C. J.. The mathematical theory of symmetry in solids : representation theory for point groups and space groups. Oxford New York : Clarendon Press, 2010. ISBN 978-0-19-958258-7.  

Literatura

  • HERSTEIN, I. N.. Topics in algebra. 2. vyd. Lexington, Mass.-Toronto, Ont. : Xerox College Publishing, 1975. xi+388 pp s.  
  • DUMMIT, David S.; FOOTE, Richard M.. Abstract algebra. Englewood Cliffs, NJ : Prentice Hall, Inc., 1991. xiv, 658 s. ISBN 0-13-004771-6.  

Související články

Externí odkazy


Citováno z „http://ww.multimediaexpo.cz/mmecz/index.php/Norm%C3%A1ln%C3%AD_podgrupa“