Binomická rovnice

Z Multimediaexpo.cz

(Rozdíly mezi verzemi)

Aktuální verze z 14. 8. 2022, 14:51

Binomickou rovnicí nazýváme rovnici ve tvaru \(x^n-a=0\) s komplexní neznámou x, číslo a je také komplexní číslo. Exponent neznámé x je přirozené číslo. Jde o typ rovnic, které se řeší na Gaussově rovině komplexních čísel, tedy i řešením jsou komplexní čísla.

Řešení binomické rovnice

Řešení binomické rovnice lze najít zkoumáním goniometrického tvaru komplexního čísla. Mějme rovnici v základním tvaru, přičemž obě strany lze přepsat jako komplexní čísla v goniometrické tvaru
\(\left|x^n\right|\left(\cos n\varphi+\text{i}\sin n\varphi\right)=|a|\left(\cos\omega+\text{i}\sin\omega\right)\,;\; x,a\in\mathbb{C},n\in\mathbb{N}\)

Úhel \(\omega\) komplexní číslo \(a\) s kladnou osou x. Odtud lze porovnáváním stran odvodit řešení. Porovnáním absolutních hodnot je absolutní hodnota neznámé \(x\)

\(|x|=\sqrt[n]{|a|}\)

Porovnáním úhlů a odvozením řešení je

\(\begin{array}{rcl}\cos n\varphi&=&\cos\omega\\n\varphi&=&\omega+2k\pi\\\varphi&=&\dfrac{\omega+2k\pi}{n}\end{array}\)

Diskuse

V tomto kroku je zapotřebí rozebrat diskusi vzhledem k úhlu \(\omega\). Pokud je číslo \(a\) kladné reálné, poté uvažujeme úhel \(\omega=0\). Naopak, když je \(a\) reálné záporné, uvažujeme úhel \(\omega=\pi\). Pokud uvažujeme, že \(a\) má svoji reálnou i imaginární složku, tedy je komplexní, úhel se nedá obecně vyjádřit. Po této diskusi lze psát řešení:

Řešení

Binomická rovnice má celkem \(n\) řešení. Při jejich hledání se za koeficient \(k\) dosazují postupně hodnoty množiny \(\{0;1;\cdots;n-1\}\). Tato řešení vytvoří v komplexní rovině jakési vrcholy pravidelného \(n\)-úhelníka. Samotné řešení je

1. možnost \(\omega=0\)

\(x_{1,2,\cdots,n}=\sqrt[n]{|a|}\left[\cos\left(\frac{2k\pi}{n}\right)+\text{i}\sin\left(\frac{2k\pi}{n}\right)\right]\)

2. možnost \(\omega=\pi\)

\(x_{1,2,\cdots,n}=\sqrt[n]{|a|}\left[\cos\left(\frac{2k\pi+\pi}{n}\right)+\text{i}\sin\left(\frac{2k\pi+\pi}{n}\right)\right]\)

3. možnost neurčitého \(\omega\) a komplexního \(a\)

\(x_{1,2,\cdots,n}=\sqrt[n]{|a|}\left[\cos\left(\frac{2k\pi+\omega}{n}\right)+\text{i}\sin\left(\frac{2k\pi+\omega}{n}\right)\right]\)

Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010
Informace o článku. Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. Tento text je dostupný za podmínek Creative Commons 3.0 Unported – creativecommons.org. Originální článek na české Wikipedii

@@ Řádka 1: / Řádka 1: @@
-'''Binomickou rovnicí''' nazýváme rovnici ve tvaru <big>\(x^n-a=0</math> s komplexní neznámou ''x'', číslo ''a'' je také [[komplexní číslo]]. [[Exponent]] neznámé ''x'' je [[přirozené číslo]]. Jde o typ rovnic, které se řeší na Gaussově rovině komplexních čísel, tedy i řešením jsou komplexní čísla.
+'''Binomickou rovnicí''' nazýváme rovnici ve tvaru <big>\(x^n-a=0\)</big> s komplexní neznámou ''x'', číslo ''a'' je také [[komplexní číslo]]. [[Exponent]] neznámé ''x'' je [[přirozené číslo]]. Jde o typ rovnic, které se řeší na Gaussově rovině komplexních čísel, tedy i řešením jsou komplexní čísla.
 ==Řešení binomické rovnice==
 Řešení binomické rovnice lze najít zkoumáním [[Komplexní číslo|goniometrického tvaru komplexního čísla]]. Mějme rovnici v základním tvaru, přičemž obě strany lze přepsat jako komplexní čísla v goniometrické tvaru
 <br />
-<big>\(\left|x^n\right|\left(\cos n\varphi+\text{i}\sin n\varphi\right)=|a|\left(\cos\omega+\text{i}\sin\omega\right)\,;\; x,a\in\mathbb{C},n\in\mathbb{N}</math>
+<big>\(\left|x^n\right|\left(\cos n\varphi+\text{i}\sin n\varphi\right)=|a|\left(\cos\omega+\text{i}\sin\omega\right)\,;\; x,a\in\mathbb{C},n\in\mathbb{N}\)</big>
-Úhel <big>\(\omega</math> komplexní číslo <big>\(a</math> s kladnou osou x. Odtud lze porovnáváním stran odvodit řešení. Porovnáním absolutních hodnot je [[absolutní hodnota]] neznámé <big>\(x</math><br />
+Úhel <big>\(\omega\)</big> komplexní číslo <big>\(a\)</big> s kladnou osou x. Odtud lze porovnáváním stran odvodit řešení. Porovnáním absolutních hodnot je [[absolutní hodnota]] neznámé <big>\(x\)</big><br />
-<big>\(|x|=\sqrt[n]{|a|}</math>
+<big>\(|x|=\sqrt[n]{|a|}\)</big>
 Porovnáním úhlů a odvozením řešení je
 <br />
-<big>\(\begin{array}{rcl}\cos n\varphi&=&\cos\omega\\n\varphi&=&\omega+2k\pi\\\varphi&=&\dfrac{\omega+2k\pi}{n}\end{array}</math>
+<big>\(\begin{array}{rcl}\cos n\varphi&=&\cos\omega\\n\varphi&=&\omega+2k\pi\\\varphi&=&\dfrac{\omega+2k\pi}{n}\end{array}\)</big>
 ===Diskuse===
-V tomto kroku je zapotřebí rozebrat diskusi vzhledem k úhlu <big>\(\omega</math>. Pokud je číslo <big>\(a</math> kladné [[Reálné číslo|reálné]], poté uvažujeme úhel <big>\(\omega=0</math>. Naopak, když je <big>\(a</math> reálné záporné, uvažujeme úhel <big>\(\omega=\pi</math>. Pokud uvažujeme, že <big>\(a</math> má svoji reálnou i imaginární složku, tedy je komplexní, úhel se nedá obecně vyjádřit. Po této diskusi lze psát řešení:
+V tomto kroku je zapotřebí rozebrat diskusi vzhledem k úhlu <big>\(\omega\)</big>. Pokud je číslo <big>\(a\)</big> kladné [[Reálné číslo|reálné]], poté uvažujeme úhel <big>\(\omega=0\)</big>. Naopak, když je <big>\(a\)</big> reálné záporné, uvažujeme úhel <big>\(\omega=\pi\)</big>. Pokud uvažujeme, že <big>\(a\)</big> má svoji reálnou i imaginární složku, tedy je komplexní, úhel se nedá obecně vyjádřit. Po této diskusi lze psát řešení:
 ===Řešení===
-Binomická rovnice má celkem <big>\(n</math> řešení. Při jejich hledání se za koeficient <big>\(k</math> dosazují postupně hodnoty množiny <big>\(\{0;1;\cdots;n-1\}</math>. Tato řešení vytvoří v komplexní rovině jakési vrcholy pravidelného <big>\(n</math>-úhelníka. Samotné řešení je <br />
+Binomická rovnice má celkem <big>\(n\)</big> řešení. Při jejich hledání se za koeficient <big>\(k\)</big> dosazují postupně hodnoty množiny <big>\(\{0;1;\cdots;n-1\}\)</big>. Tato řešení vytvoří v komplexní rovině jakési vrcholy pravidelného <big>\(n\)</big>-úhelníka. Samotné řešení je <br />
-''1. možnost <big>\(\omega=0</math>''<br />
+''1. možnost <big>\(\omega=0\)</big>''<br />
-<big>\(x_{1,2,\cdots,n}=\sqrt[n]{|a|}\left[\cos\left(\frac{2k\pi}{n}\right)+\text{i}\sin\left(\frac{2k\pi}{n}\right)\right]</math>
+<big>\(x_{1,2,\cdots,n}=\sqrt[n]{|a|}\left[\cos\left(\frac{2k\pi}{n}\right)+\text{i}\sin\left(\frac{2k\pi}{n}\right)\right]\)</big>
-''2. možnost <big>\(\omega=\pi</math>''<br />
+''2. možnost <big>\(\omega=\pi\)</big>''<br />
-<big>\(x_{1,2,\cdots,n}=\sqrt[n]{|a|}\left[\cos\left(\frac{2k\pi+\pi}{n}\right)+\text{i}\sin\left(\frac{2k\pi+\pi}{n}\right)\right]</math>
+<big>\(x_{1,2,\cdots,n}=\sqrt[n]{|a|}\left[\cos\left(\frac{2k\pi+\pi}{n}\right)+\text{i}\sin\left(\frac{2k\pi+\pi}{n}\right)\right]\)</big>
-''3. možnost neurčitého <big>\(\omega</math> a komplexního <big>\(a</math>''<br />
+''3. možnost neurčitého <big>\(\omega\)</big> a komplexního <big>\(a\)</big>''<br />
-<big>\(x_{1,2,\cdots,n}=\sqrt[n]{|a|}\left[\cos\left(\frac{2k\pi+\omega}{n}\right)+\text{i}\sin\left(\frac{2k\pi+\omega}{n}\right)\right]</math>
+<big>\(x_{1,2,\cdots,n}=\sqrt[n]{|a|}\left[\cos\left(\frac{2k\pi+\omega}{n}\right)+\text{i}\sin\left(\frac{2k\pi+\omega}{n}\right)\right]\)</big>