Vážení zákazníci a čtenáři – od 28. prosince do 2. ledna máme zavřeno.
Přejeme Vám krásné svátky a 52 týdnů pohody a štěstí v roce 2025 !

Meneláova věta

Z Multimediaexpo.cz

(Rozdíly mezi verzemi)
m (1 revizi)
(+ Masivní vylepšení)
Řádka 1: Řádka 1:
-
{{Wikipedia-cs|Meneláova věta|700}}
+
[[Soubor:Menelaos's_theorem_1.png|thumb|upright=2|Příklad přímky EDF v případě, kdy protíná trojúhelník]]
 +
[[Soubor:Menelaos's_theorem_2.png|thumb|upright=2|Příklad přímky EDF v případě, kdy neprotíná trojúhelník]]
 +
'''Meneláova věta''' je tvrzení o [[trojúhelník|trojúhelnících]] tradičně připisované [[starověké Řecko|starořeckému]] [[matematika|matematikovi]] [[Meneláos Alexandrijský|Meneláovi Alexandrijskému]]. Je podobné [[Cévova věta|Cévově větě]].
 +
 +
== Znění Meneláovy věty ==
 +
Máme-li dány [[bod]]y A,B a C, které tvoří [[trojúhelník]] ABC, a jiné body D, E a F, které leží na [[přímka|přímkách]] BC, AC a AB, pak body D, E a F leží na přímce právě tehdy, když platí
 +
:<math>\frac{AF}{FB}  \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} = 1</math>
 +
V tomto výrazu uvažujeme délky [[úsečka|úseček]] se znaménkem, které je dáno tím, nacházejí-li se body D, E a F uvnitř patřičných úseček, nebo vně. Například podíl AF/FB je kladný právě tehdy, pokud bod F leží na úsečce AB.
 +
 +
== Důkaz ==
 +
Nejdříve ověříme znaménko levé strany a ukážeme, že musí být vždy záporné. To
 +
plyne z toho, že přímka buď trojúhelník neprotne vůbec, nebo jej protne právě
 +
ve dvou bodech (viz [[Paschův axiom]]). Na levé straně je tedy lichý počet
 +
záporných zlomků a jejich součin bude vždy záporný.
 +
 +
Spustíme [[kolmice]] a, b a c z bodů A, B a C na přímku DEF. Z [[podobnost trojúhelníků|podobnosti trojúhelníků]] plyne, že
 +
:<math>\frac{|AF|}{|BF|}=\frac{a}{b}</math>
 +
:<math>\frac{|BD|}{|CD|}=\frac{b}{c}</math>
 +
:<math>\frac{|CE|}{|AE|}=\frac{c}{a}</math>
 +
 +
tedy
 +
:<math>\left|\frac{AF}{FB}  \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA}\right| = \left|\frac{abc}{abc}\right|= 1</math>
 +
 +
Ještě zbývá dokázat, že pokud by body na přímce neležely, pak rovnost neplatí. Uvažujme bod X na přímce AB, který je různý od bodu F. Označme AF, AX a AB po řadě jako n, n', s. Předpokládejme, že rovnost platí i pro X. Pak platí
 +
:<math>\frac{AF}{FB} = \frac{AX}{XB},</math>
 +
neboli
 +
:<math>\frac{n}{s-n} =\frac{n'}{s-n'},</math>
 +
odkud uvedením na společného jmenovatele a zjednodušením dostaneme <math>n=n'</math>. Tedy <math>F=X</math>, čímž je důkaz hotov.
 +
 +
== Externí odkazy ==
 +
* [http://planetmath.org/encyclopedia/MenelausTheorem.html Meneláova věta — na PlanetMath (anglicky)]
 +
* [http://mathworld.wolfram.com/MenelausTheorem.html Meneláova věta — na Mathworldu (anglicky)]
 +
 +
 +
{{Článek z Wikipedie}}
[[Kategorie:Trojúhelník]]
[[Kategorie:Trojúhelník]]

Verze z 24. 2. 2014, 09:03

Příklad přímky EDF v případě, kdy protíná trojúhelník
Příklad přímky EDF v případě, kdy neprotíná trojúhelník

Meneláova věta je tvrzení o trojúhelnících tradičně připisované starořeckému matematikovi Meneláovi Alexandrijskému. Je podobné Cévově větě.

Znění Meneláovy věty

Máme-li dány body A,B a C, které tvoří trojúhelník ABC, a jiné body D, E a F, které leží na přímkách BC, AC a AB, pak body D, E a F leží na přímce právě tehdy, když platí

<math>\frac{AF}{FB} \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} = 1</math>

V tomto výrazu uvažujeme délky úseček se znaménkem, které je dáno tím, nacházejí-li se body D, E a F uvnitř patřičných úseček, nebo vně. Například podíl AF/FB je kladný právě tehdy, pokud bod F leží na úsečce AB.

Důkaz

Nejdříve ověříme znaménko levé strany a ukážeme, že musí být vždy záporné. To plyne z toho, že přímka buď trojúhelník neprotne vůbec, nebo jej protne právě ve dvou bodech (viz Paschův axiom). Na levé straně je tedy lichý počet záporných zlomků a jejich součin bude vždy záporný.

Spustíme kolmice a, b a c z bodů A, B a C na přímku DEF. Z podobnosti trojúhelníků plyne, že

<math>\frac{|AF|}{|BF|}=\frac{a}{b}</math>
<math>\frac{|BD|}{|CD|}=\frac{b}{c}</math>
<math>\frac{|CE|}{|AE|}=\frac{c}{a}</math>

tedy

<math>\left|\frac{AF}{FB} \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA}\right| = \left|\frac{abc}{abc}\right|= 1</math>

Ještě zbývá dokázat, že pokud by body na přímce neležely, pak rovnost neplatí. Uvažujme bod X na přímce AB, který je různý od bodu F. Označme AF, AX a AB po řadě jako n, n', s. Předpokládejme, že rovnost platí i pro X. Pak platí

<math>\frac{AF}{FB} = \frac{AX}{XB},</math>

neboli

<math>\frac{n}{s-n} =\frac{n'}{s-n'},</math>

odkud uvedením na společného jmenovatele a zjednodušením dostaneme <math>n=n'</math>. Tedy <math>F=X</math>, čímž je důkaz hotov.

Externí odkazy


Citováno z „http://ww.multimediaexpo.cz/mmecz/index.php/Menel%C3%A1ova_v%C4%9Bta“