Vážení zákazníci a čtenáři – od 28. prosince do 2. ledna máme zavřeno.
Přejeme Vám krásné svátky a 52 týdnů pohody a štěstí v roce 2025 !

Koeficient špičatosti

Z Multimediaexpo.cz

(Rozdíly mezi verzemi)
m (1 revizi)
(vylep.)
Řádka 1: Řádka 1:
-
{{Wikipedia-cs|Koeficient špičatosti|700}}
+
'''Koeficient špičatosti''' ('''excesu''') je [[charakteristika náhodné veličiny|charakteristika]] rozdělení [[náhodná veličina|náhodné veličiny]], která porovnává dané [[rozdělení pravděpodobnosti|rozdělení]] s [[normální rozdělení|normálním rozdělením pravděpodobnosti]].
 +
Koeficient špičatosti se obvykle označuje <math>\gamma_2</math>.
 +
 +
==Definice==
 +
Koeficient špičatosti je definován vztahem
 +
:<math>\gamma_2 = \frac{\mu_4}{\sigma^4} - 3 = \frac{\operatorname{E}[X-\operatorname{E}(X)]^4}{\left(\operatorname{var}\,X\right)^2} - 3</math>,
 +
kde <math>\mu_4</math> je čtvrtý [[centrální moment]], <math>\sigma</math> je [[směrodatná odchylka]], <math>\operatorname{E}(X)</math> označuje [[střední hodnota|střední hodnotu]] a <math>\operatorname{var}\,X</math> je [[rozptyl (statistika)|rozptyl]].
 +
==Vlastnosti==
 +
 +
[[Normální rozdělení]] má špičatost nula. Kladná špičatost značí, že většina hodnot náhodné veličiny leží blízko její [[střední hodnota|střední hodnoty]] a hlavní vliv
 +
na rozptyl mají málo pravděpodobné [[odlehlá hodnota|odlehlé hodnoty]]. Křivka [[Hustota rozdělení pravděpodobnosti|hustoty]] je špičatější, nežli u normálního rozdělení. Záporná špičatost značí, že rozdělení je rovnoměrnější a
 +
jeho křivka hustoty je plošší nežli u normálního rozdělení.
 +
 +
Špičatost rozdělení nezávisí na lineární transformaci náhodné veličiny, je tedy např. stejná pro všechna normální rozdělení.
 +
 +
==Výběrový koeficient špičatosti==
 +
 +
Výběrový koeficient špičatosti je definován vzorcem
 +
 +
:<math>g_2 = \frac{m_4}{m_2^2} = n\frac{\sum_{i=1}^n (x_i - \overline{x})^4}{\left(\sum_{i=1}^n (x_i - \overline{x})^2 \right)^2}</math>,
 +
 +
kde <math>\overline{x}</math> je [[Výběrový průměr|výběrový průměr]], <math>m_2</math> je [[výběrový rozptyl]] a <math>m_4</math> je čtvrtý [[Centrální moment#Výběrový centrální moment|výběrový centrální moment]].
 +
 +
Tento odhad je [[Vychýlený odhad|vychýlený]]. Méně vychýlené odhady dostaneme, když místo výběrových centrálních momentů použijeme nevychýlené odhady centrálních momentů:<ref>{{cite web|title=Estimating and Comparing Kurtosis and Skewness from and Arbitrary Population|url=http://www.misug.org/mifolder/LAn_Skewness_Kurtosis.pdf|publisher=Michigan SAS Users Group|accessdate=18 July 2011}}</ref>
 +
 +
<math>
 +
\begin{align}
 +
G_2 = \frac{M_4}{M_2^2} &= \frac{(n-1)}{(n-2)(n-3)}\left((n+1)g_2+6\right) \\
 +
b_2 = \frac{m_4}{M_2^2} &= \left(\frac{n-1}{n}\right)^2g_2 - 3
 +
\end{align}
 +
</math>
 +
 +
Pro rozptyly těchto odhadů platí <math>\operatorname{var}\,b_2 < \operatorname{var}\,g_2 < \operatorname{var}\,G_2</math>.
 +
 +
== Reference ==
 +
<references/>
 +
 +
 +
{{Článek z Wikipedie}}
[[Kategorie:Statistika]]
[[Kategorie:Statistika]]

Verze z 5. 3. 2015, 21:47

Koeficient špičatosti (excesu) je charakteristika rozdělení náhodné veličiny, která porovnává dané rozdělení s normálním rozdělením pravděpodobnosti.

Koeficient špičatosti se obvykle označuje <math>\gamma_2</math>.

Obsah

Definice

Koeficient špičatosti je definován vztahem

<math>\gamma_2 = \frac{\mu_4}{\sigma^4} - 3 = \frac{\operatorname{E}[X-\operatorname{E}(X)]^4}{\left(\operatorname{var}\,X\right)^2} - 3</math>,

kde <math>\mu_4</math> je čtvrtý centrální moment, <math>\sigma</math> je směrodatná odchylka, <math>\operatorname{E}(X)</math> označuje střední hodnotu a <math>\operatorname{var}\,X</math> je rozptyl.

Vlastnosti

Normální rozdělení má špičatost nula. Kladná špičatost značí, že většina hodnot náhodné veličiny leží blízko její střední hodnoty a hlavní vliv na rozptyl mají málo pravděpodobné odlehlé hodnoty. Křivka hustoty je špičatější, nežli u normálního rozdělení. Záporná špičatost značí, že rozdělení je rovnoměrnější a jeho křivka hustoty je plošší nežli u normálního rozdělení.

Špičatost rozdělení nezávisí na lineární transformaci náhodné veličiny, je tedy např. stejná pro všechna normální rozdělení.

Výběrový koeficient špičatosti

Výběrový koeficient špičatosti je definován vzorcem

<math>g_2 = \frac{m_4}{m_2^2} = n\frac{\sum_{i=1}^n (x_i - \overline{x})^4}{\left(\sum_{i=1}^n (x_i - \overline{x})^2 \right)^2}</math>,

kde <math>\overline{x}</math> je výběrový průměr, <math>m_2</math> je výběrový rozptyl a <math>m_4</math> je čtvrtý výběrový centrální moment.

Tento odhad je vychýlený. Méně vychýlené odhady dostaneme, když místo výběrových centrálních momentů použijeme nevychýlené odhady centrálních momentů:[1]

<math> \begin{align} G_2 = \frac{M_4}{M_2^2} &= \frac{(n-1)}{(n-2)(n-3)}\left((n+1)g_2+6\right) \\ b_2 = \frac{m_4}{M_2^2} &= \left(\frac{n-1}{n}\right)^2g_2 - 3 \end{align} </math>

Pro rozptyly těchto odhadů platí <math>\operatorname{var}\,b_2 < \operatorname{var}\,g_2 < \operatorname{var}\,G_2</math>.

Reference

  1. ↑ . Dostupné online.  


Citováno z „http://ww.multimediaexpo.cz/mmecz/index.php/Koeficient_%C5%A1pi%C4%8Datosti“