Multimediaexpo.cz je již 18 let na českém internetu !!
V tiskové zprávě k 18. narozeninám brzy najdete nové a zásadní informace.
Hölderova nerovnost
Z Multimediaexpo.cz
Verze z 3. 3. 2019, 11:47
Hölderova nerovnost je důležitou nerovností v matematické analýze, významnou zejména při zkoumání Lp prostorů.
Obsah |
Znění
Na prostoru s mírou <math>(X, \Sigma, \mu)</math> mějme μ-měřitelné funkce <math>f, g</math> na <math>X</math>. Dále nechť existují čísla <math>1 \le p, q \le \infty</math>, taková, že: <math>1/p + 1/q = 1</math>. Pak platí:
- <math>\|f \cdot g \|_1 \le \|f\|_p \cdot \|g\|_q</math>.
Důležité speciální případy
Pro následující případy předpokládejme, že <math>1 < p,q < \infty</math> a <math>1/p+1/q = 1</math>.
Aritmetická míra
V případě <math>n</math>-rozměrného Eukleidovského prostoru <math>a_k, b_k \in \mathbb{C}^n</math>, s množinou <math> X = \{1, ..., n\}</math> a <math>\mu</math> aritmetickou mírou dostáváme:
- <math>\sum_{k=1}^n|a_kb_k|\leq\left(\sum_{k=1}^n|a_k|^p\right)^{1/p} \left(\sum_{k=1}^n|b_k|^q\right)^{1/q}</math>.
Rovnost nastává, právě když <math>|b_k|=c|a_k|^{p-1}</math>.
Lp prostory
Pokud <math>f \in L^p(X), g \in L^q(X)</math>, tak <math>f \cdot g \in L^1(X)</math> a navíc:
- <math>\int_X |f \cdot g | \, \mathrm{d} \mu \le \left(\int_X |f|^p \, \mathrm{d} \mu \right)^{1/p} \cdot \left(\int_X |g|^q \, \mathrm{d} \mu \right)^{1/q}</math>
Pro <math>p = q = 2</math> pak dostáváme Cauchyho–Schwarzovu nerovnost, Hölderova nerovnost je tedy jejím zobecněním.
Důkaz
Je důsledkem Youngovy nerovnosti, která se dá formulovat i takto: Pro všechna reálná čísla r, s a <math>x\in<0,1></math> platí <math>xr+(1-x)s\geq r^xs^{1-x}</math>. Rovnost nastává, právě když r=s nebo <math>x\in\{0,1\}</math>. Sečtením těchto nerovností dostaneme požadovanou Hölderovu nerovnost.
| Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010 |
|---|
| Informace o článku.
Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. |