Vážení zákazníci a čtenáři – od 28. prosince do 2. ledna máme zavřeno.
Přejeme Vám krásné svátky a 52 týdnů pohody a štěstí v roce 2025 !

Potenční algebra

Z Multimediaexpo.cz

(Rozdíly mezi verzemi)
m (1 revizi)
(+ Výrazné vylepšení)
Řádka 1: Řádka 1:
-
{{Wikipedia-cs|Potenční algebra|700}}
+
'''Potenční algebra''' je [[Matematika|matematický]] pojem používaný v [[Teorie množin|teorii množin]] pro strukturu prvků [[Potenční množina|potenční množiny]] spolu s operacemi [[průnik]]u, [[sjednocení]], [[doplněk množiny|doplňku]] a spolu s [[uspořádání]]m [[binární relace|relací]] <math> \subseteq \,\! </math> ("být [[podmnožina|podmnožinou]]").
 +
== Příklady ==
 +
V dalších částech tohoto článku budou jako příklady '''potenční algebry''' nejčastěji použity následující dvě množiny:
 +
* <math> \mathbb{P}(3) = \{0,\{ 0 \},\{1\},\{2\},\{0,1\},\{0,2\},\{1,2\},\{0,1,2\}\} \,\! </math> – potenční množina [[ordinální číslo|ordinálního čísla]] 3
 +
* <math> \mathbb{P}(\omega) \,\! </math> – potenční množina [[ordinální číslo|ordinálního čísla]] <math> \omega \,\! </math> , tedy množina všech podmnožin množiny všech [[Přirozené číslo|přirozených čísel]]
 +
 +
== Uspořádání inkluzí ==
 +
Uspořádání relací „být podmnožinou“ na potenční množině je příkladem uspořádání, kde každá množina (a to dokonce ani dvouprvková) nemusí mít [[největší prvek]], ani [[nejmenší prvek]]. Není to tedy [[lineární uspořádání]], ani [[Dobře uspořádaná množina|dobré uspořádání]].
 +
 +
Příklad:<br />
 +
Množina <math> \{\{1\},\{0,2\}\} \,\! </math> nemá v <math> \mathbb{P}(3) \,\! </math> největší, ani nejmenší prvek - její prvky jsou nesrovnatelné pomocí relace <math> \subseteq \,\! </math> .
 +
 +
 +
Naproti tomu má každá množina vzhledem k <math> \subseteq \,\! </math> své [[infimum]] a své [[supremum]] - jsou to průnik a sjednocení této množiny.
 +
* <math> sup_{\subseteq} \{ a,b \} = a \cup b </math>
 +
* <math> inf_{\subseteq} \{ a,b \} = a \cap b </math>
 +
Obecněji (pro všechny množiny, nejen dvouprvkové):
 +
* <math> sup_{\subseteq}(A) = \bigcup A </math>
 +
* <math> inf_{\subseteq}(A) = \bigcap A </math>
 +
 +
To znamená, že (podle prvních dvou vztahů) je potenční algebra [[svaz (matematika)|svaz]] a to dokonce (podle druhých dvou vztahů) [[úplný svaz]].
 +
 +
Příklady:<br />
 +
Množina <math> \{\{1\},\{0,2\}\} \,\! </math> má v <math> \mathbb{P}(3) \,\! </math> infimum <math> \{1\} \cap \{0,2\} = \emptyset \,\! </math> a supremum <math> \{1\} \cup \{0,2\} = \{ 0,1,2 \} \,\! </math><br />
 +
[[Nekonečná množina]] všech nekonečných [[Aritmetická posloupnost|aritmetických posloupností]] s krokem větším než 1 a začínajících číslem 7<br />
 +
<math> \{ \{ 7,9,11,\ldots \}, \{7,10,13,\ldots \}, \{7,11,15,\ldots \}, \ldots \} \,\! </math><br />
 +
má v <math> \mathbb{P}(\omega) \,\! </math> infimum <math> \{ 7 \} \,\! </math> a supremum <math> \{ 7,9,10,11,12,13,14,\ldots \} \,\! </math> .
 +
 +
== Operace součinu a součtu ==
 +
Označíme-li výše uvedené infimum jako součin a supremum jako součet, dostáváme dvě algebraické operace na '''potenční algebře''':
 +
* <math> a \cdot b = inf_{\subseteq} \{a,b\} = a \cap b \,\! </math>
 +
* <math> a + b = sup_{\subseteq} \{a,b\} = a \cup b \,\! </math>
 +
 +
Snadno se dá ověřit, že tyto operace splňují vše, co od algebraického součtu a součinu běžně očekáváme – jsou [[Komutativní operace|komutativní]], [[Asociativní operace|asociativní]], navíc je součin vůči součtu [[Distributivní operace|distributivní]]
 +
* <math> a + b = b + a \,\! </math>
 +
* <math> a \cdot b = b \cdot a \,\! </math>
 +
* <math> a + (b + c) = (a + b) + c \,\! </math>
 +
* <math> a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c \,\! </math>
 +
* <math> a \cdot (b + c) = (a \cdot b) + (a \cdot c) \,\! </math>
 +
 +
Příklady:
 +
* <math> \{0,1\} + \{1,2\} = \{0,1\} \cup \{1,2\} = \{0,1,2\} \,\! </math>
 +
* <math> \{0,1\} \cdot \{1,2\} = \{0,1\} \cap \{1,2\} = \{1\} \,\! </math>
 +
* <math> \{2,4,6,8,10,\ldots \} + \{2,4,8,16,32,\ldots\} = \{2,4,6,8,10,\ldots \} \cup \{2,4,8,16,32,\ldots\} = \{2,4,6,8,10,\ldots \} \,\! </math>
 +
* <math> \{2,4,6,8,10,\ldots \} \cdot \{2,4,8,16,32,\ldots\} = \{2,4,6,8,10,\ldots \} \cap \{2,4,8,16,32,\ldots\} = \{2,4,8,16,32,\ldots\} \,\! </math>
 +
 +
== Neutrální prvky operací součtu a součinu ==
 +
Obě operace (součin i součet) mají v '''potenční algebře''' neutrální prvek - pro součet je to [[prázdná množina]], pro součin je to celá množina, na jejíž potenční algebře se pohybujeme, Tak, jak je zvykem u běžného součtu a součinu, jsou tyto neutrální prvky označovány symboly <math> 0 \,\! </math> a <math> 1 \,\! </math>. Platí pro ně následující vztahy (které se opět dají snadno odvodit - stačí dosadit si za součin průnik a za součet sjednocení):
 +
* <math> a \cdot 1 = 1 \cdot a = a \,\! </math>
 +
* <math> a + 0 = 0 + a = a \,\! </math>
 +
* <math> a + 1 = 1 + a = 1 \,\! </math>
 +
* <math> a \cdot 0 = 0 \cdot a = 0 \,\! </math>
 +
 +
== Operace rozdílu ==
 +
Označíme-li pro potenční algebru na množině <math> X \,\! </math> jako opačný prvek množiny její množinový doplněk do X, tj. <br />
 +
<math> -a = X - a \,\! </math>
 +
získáváme [[Unární operace|unární operaci]] nápadně podobnou logické negaci:
 +
* <math> a \cdot (-a) = 0 \,\! </math>
 +
* <math> a + (-a) = 1 \,\! </math>
 +
* <math> -(-a) = a \,\! </math>
 +
* <math> -0 = 1 \,\! </math>
 +
* <math> -1 = 0 \,\! </math>
 +
 +
Příklady:
 +
* na <math> \mathbb{P}(3) \,\! </math> platí <math> - \{1 \} = \{0,2 \} \,\! </math>
 +
* na <math> \mathbb{P}(\omega) \,\! </math> platí <math> - \{0,2,4,6,\ldots \} = \{ 1,3,5,\ldots \} \,\! </math>
 +
 +
== Použití ==
 +
Potenční algebra je prostředím pro velkou část úloh, kterými se zabývá problematika [[filtr (matematika)|filtrů]] a [[ultrafiltr]]ů a vlastně celá [[nekonečná kombinatorika]]. [[Vnoření]] množiny [[Racionální číslo|racionálních čísel]] do vlastní potenční množiny a následný výběr vhodných prvků potenční algebry je používán při konstrukci množiny [[Reálné číslo|reálných čísel]] pomocí [[Dedekindův řez|Dedekindových řezů]].
 +
 +
== Související články ==
 +
* [[Svaz (matematika)|Svaz]]
 +
* [[Úplný svaz]]
 +
* [[Filtr (matematika)|Filtr]]
 +
 +
 +
{{Článek z Wikipedie}}
[[Kategorie:Teorie množin]]
[[Kategorie:Teorie množin]]
[[Kategorie:Algebraické struktury]]
[[Kategorie:Algebraické struktury]]

Verze z 3. 3. 2019, 14:03

Potenční algebra je matematický pojem používaný v teorii množin pro strukturu prvků potenční množiny spolu s operacemi průniku, sjednocení, doplňku a spolu s uspořádáním relací <math> \subseteq \,\! </math> ("být podmnožinou").

Obsah

Příklady

V dalších částech tohoto článku budou jako příklady potenční algebry nejčastěji použity následující dvě množiny:

  • <math> \mathbb{P}(3) = \{0,\{ 0 \},\{1\},\{2\},\{0,1\},\{0,2\},\{1,2\},\{0,1,2\}\} \,\! </math> – potenční množina ordinálního čísla 3
  • <math> \mathbb{P}(\omega) \,\! </math> – potenční množina ordinálního čísla <math> \omega \,\! </math> , tedy množina všech podmnožin množiny všech přirozených čísel

Uspořádání inkluzí

Uspořádání relací „být podmnožinou“ na potenční množině je příkladem uspořádání, kde každá množina (a to dokonce ani dvouprvková) nemusí mít největší prvek, ani nejmenší prvek. Není to tedy lineární uspořádání, ani dobré uspořádání.

Příklad:
Množina <math> \{\{1\},\{0,2\}\} \,\! </math> nemá v <math> \mathbb{P}(3) \,\! </math> největší, ani nejmenší prvek - její prvky jsou nesrovnatelné pomocí relace <math> \subseteq \,\! </math> .


Naproti tomu má každá množina vzhledem k <math> \subseteq \,\! </math> své infimum a své supremum - jsou to průnik a sjednocení této množiny.

  • <math> sup_{\subseteq} \{ a,b \} = a \cup b </math>
  • <math> inf_{\subseteq} \{ a,b \} = a \cap b </math>

Obecněji (pro všechny množiny, nejen dvouprvkové):

  • <math> sup_{\subseteq}(A) = \bigcup A </math>
  • <math> inf_{\subseteq}(A) = \bigcap A </math>

To znamená, že (podle prvních dvou vztahů) je potenční algebra svaz a to dokonce (podle druhých dvou vztahů) úplný svaz.

Příklady:
Množina <math> \{\{1\},\{0,2\}\} \,\! </math> má v <math> \mathbb{P}(3) \,\! </math> infimum <math> \{1\} \cap \{0,2\} = \emptyset \,\! </math> a supremum <math> \{1\} \cup \{0,2\} = \{ 0,1,2 \} \,\! </math>
Nekonečná množina všech nekonečných aritmetických posloupností s krokem větším než 1 a začínajících číslem 7
<math> \{ \{ 7,9,11,\ldots \}, \{7,10,13,\ldots \}, \{7,11,15,\ldots \}, \ldots \} \,\! </math>
má v <math> \mathbb{P}(\omega) \,\! </math> infimum <math> \{ 7 \} \,\! </math> a supremum <math> \{ 7,9,10,11,12,13,14,\ldots \} \,\! </math> .

Operace součinu a součtu

Označíme-li výše uvedené infimum jako součin a supremum jako součet, dostáváme dvě algebraické operace na potenční algebře:

  • <math> a \cdot b = inf_{\subseteq} \{a,b\} = a \cap b \,\! </math>
  • <math> a + b = sup_{\subseteq} \{a,b\} = a \cup b \,\! </math>

Snadno se dá ověřit, že tyto operace splňují vše, co od algebraického součtu a součinu běžně očekáváme – jsou komutativní, asociativní, navíc je součin vůči součtu distributivní

  • <math> a + b = b + a \,\! </math>
  • <math> a \cdot b = b \cdot a \,\! </math>
  • <math> a + (b + c) = (a + b) + c \,\! </math>
  • <math> a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c \,\! </math>
  • <math> a \cdot (b + c) = (a \cdot b) + (a \cdot c) \,\! </math>

Příklady:

  • <math> \{0,1\} + \{1,2\} = \{0,1\} \cup \{1,2\} = \{0,1,2\} \,\! </math>
  • <math> \{0,1\} \cdot \{1,2\} = \{0,1\} \cap \{1,2\} = \{1\} \,\! </math>
  • <math> \{2,4,6,8,10,\ldots \} + \{2,4,8,16,32,\ldots\} = \{2,4,6,8,10,\ldots \} \cup \{2,4,8,16,32,\ldots\} = \{2,4,6,8,10,\ldots \} \,\! </math>
  • <math> \{2,4,6,8,10,\ldots \} \cdot \{2,4,8,16,32,\ldots\} = \{2,4,6,8,10,\ldots \} \cap \{2,4,8,16,32,\ldots\} = \{2,4,8,16,32,\ldots\} \,\! </math>

Neutrální prvky operací součtu a součinu

Obě operace (součin i součet) mají v potenční algebře neutrální prvek - pro součet je to prázdná množina, pro součin je to celá množina, na jejíž potenční algebře se pohybujeme, Tak, jak je zvykem u běžného součtu a součinu, jsou tyto neutrální prvky označovány symboly <math> 0 \,\! </math> a <math> 1 \,\! </math>. Platí pro ně následující vztahy (které se opět dají snadno odvodit - stačí dosadit si za součin průnik a za součet sjednocení):

  • <math> a \cdot 1 = 1 \cdot a = a \,\! </math>
  • <math> a + 0 = 0 + a = a \,\! </math>
  • <math> a + 1 = 1 + a = 1 \,\! </math>
  • <math> a \cdot 0 = 0 \cdot a = 0 \,\! </math>

Operace rozdílu

Označíme-li pro potenční algebru na množině <math> X \,\! </math> jako opačný prvek množiny její množinový doplněk do X, tj.
<math> -a = X - a \,\! </math> získáváme unární operaci nápadně podobnou logické negaci:

  • <math> a \cdot (-a) = 0 \,\! </math>
  • <math> a + (-a) = 1 \,\! </math>
  • <math> -(-a) = a \,\! </math>
  • <math> -0 = 1 \,\! </math>
  • <math> -1 = 0 \,\! </math>

Příklady:

  • na <math> \mathbb{P}(3) \,\! </math> platí <math> - \{1 \} = \{0,2 \} \,\! </math>
  • na <math> \mathbb{P}(\omega) \,\! </math> platí <math> - \{0,2,4,6,\ldots \} = \{ 1,3,5,\ldots \} \,\! </math>

Použití

Potenční algebra je prostředím pro velkou část úloh, kterými se zabývá problematika filtrů a ultrafiltrů a vlastně celá nekonečná kombinatorika. Vnoření množiny racionálních čísel do vlastní potenční množiny a následný výběr vhodných prvků potenční algebry je používán při konstrukci množiny reálných čísel pomocí Dedekindových řezů.

Související články


Citováno z „http://ww.multimediaexpo.cz/mmecz/index.php/Poten%C4%8Dn%C3%AD_algebra“