Eisensteinovo číslo

Z Multimediaexpo.cz

Verze z 29. 9. 2021, 09:34

Trojúhelníková mříž Eisensteinových celých čísel v komplexní rovině

V matematice se jako Eisensteinova čísla, pojmenovaná po Ferdinandu Eisensteinovi (1823 – 1852), označují komplexní čísla tvaru

<math>z = a + b\omega \,\!</math>

kde a a b jsou celá čísla a

<math>\omega = \frac{1}{2}(-1 + i\sqrt 3) = e^{2\pi i/3}</math>

je (komplexní) třetí odmocnina z jedné. Podobně jako Gaussova čísla tvoří čtvercovou mříž, tvoří Eisensteinova čísla trojúhelníkovou mříž. Jedná se o okruh celistvých čísel číselného tělesa <math>\mathbb{Q}\left(\mathrm i\sqrt{3}\right)</math>.

Dělitelnost

Na Eisensteinových číslech lze zavést dělitelnost stejně jako na celých číslech: <math>x</math> dělí <math>y</math> právě tehdy, existuje-li Eisensteinovo číslo <math>z</math> splňující <math>y=zx</math>. To umožňuje převést z celých čísel i koncept prvočíselnosti, a mluvit o Eisensteinových prvočíslech.

Mezi Eisensteinovými čísly je celkem šest jednotek {±1, ±ω, ±ω²}, za Eisensteinova prvočíslo je tedy považováno každé takové Eisensteinovo číslo <math>z</math>, které lze dělit pouze pouze jednotkami a prvky <math>uz</math>, kde <math>u</math> je nějaká z jednotek.

Eisensteinova čísla tvoří komutativní okruh. Ten je dokonce eukleidovský, za eukleidovskou funkci je možno zvolit

<math>N(a + b\,\omega) = a^2 - a b + b^2. \,\!</math>