V pondělí 16. září 2024 začala naše další
nová soutěž o nejlepší webovou stránku !!
Proto neváhejte a začněte rychle soutěžit o lákavé ceny !!

Hyperbolometrická funkce

Z Multimediaexpo.cz

(Rozdíly mezi verzemi)
(+ Nový článek)
m (Nahrazení textu „<math>“ textem „<big>\(“)
Řádka 2: Řádka 2:
== Argument hyperbolického sinu (argsinh x) ==
== Argument hyperbolického sinu (argsinh x) ==
-
Funkce <math>y=\arg\sinh x</math>
+
Funkce <big>\(y=\arg\sinh x</math>
=== Definiční obor ===
=== Definiční obor ===
-
:<math> x \in \mathbb{R}</math>
+
:<big>\( x \in \mathbb{R}</math>
=== Obor hodnot ===
=== Obor hodnot ===
-
:<math> y \in \mathbb{R}</math>
+
:<big>\( y \in \mathbb{R}</math>
=== Parita ===
=== Parita ===
Řádka 14: Řádka 14:
=== Identita ===
=== Identita ===
-
:<math>\arg\sinh x=\ln(x+\sqrt{x^2+1})</math>
+
:<big>\(\arg\sinh x=\ln(x+\sqrt{x^2+1})</math>
== Argument hyperbolického kosinu (argcosh x) ==
== Argument hyperbolického kosinu (argcosh x) ==
-
Funkce <math>y=\arg\cosh x</math>
+
Funkce <big>\(y=\arg\cosh x</math>
=== Definiční obor ===
=== Definiční obor ===
-
:<math>1 \le x <\infty</math>
+
:<big>\(1 \le x <\infty</math>
=== Obor hodnot ===
=== Obor hodnot ===
-
:<math>0 \le y <\infty</math>
+
:<big>\(0 \le y <\infty</math>
=== Parita ===
=== Parita ===
Řádka 29: Řádka 29:
=== Identita ===
=== Identita ===
-
:<math>\arg\cosh x=\ln(x+\sqrt{x^2-1})</math>
+
:<big>\(\arg\cosh x=\ln(x+\sqrt{x^2-1})</math>
== Argument hyperbolického tangens (argtanh x) ==
== Argument hyperbolického tangens (argtanh x) ==
-
Funkce <math>y=\arg\tanh x</math>
+
Funkce <big>\(y=\arg\tanh x</math>
=== Definiční obor ===
=== Definiční obor ===
-
:<math>-1 < x <1</math> resp. <math>|x|<1</math>
+
:<big>\(-1 < x <1</math> resp. <big>\(|x|<1</math>
=== Obor hodnot ===
=== Obor hodnot ===
-
:<math> y \in \mathbb{R}</math>
+
:<big>\( y \in \mathbb{R}</math>
=== Parita ===
=== Parita ===
Řádka 44: Řádka 44:
=== Identita ===
=== Identita ===
-
:<math>\arg\tanh x=\frac{1}{2} \ln\frac{1+x}{1-x}</math>
+
:<big>\(\arg\tanh x=\frac{1}{2} \ln\frac{1+x}{1-x}</math>
== Argument hyperbolického kotangens (argcoth x) ==
== Argument hyperbolického kotangens (argcoth x) ==
-
Funkce <math>y=\arg\coth x</math>
+
Funkce <big>\(y=\arg\coth x</math>
=== Definiční obor ===
=== Definiční obor ===
-
:<math>|x|>1</math>
+
:<big>\(|x|>1</math>
=== Obor hodnot ===
=== Obor hodnot ===
-
:<math>y=\mathbb{R}-\{0\}</math>
+
:<big>\(y=\mathbb{R}-\{0\}</math>
=== Parita ===
=== Parita ===
Řádka 59: Řádka 59:
=== Identita ===
=== Identita ===
-
:<math>\arg\coth x=\frac{1}{2} \ln\frac{x+1}{x-1}</math>
+
:<big>\(\arg\coth x=\frac{1}{2} \ln\frac{x+1}{x-1}</math>
== Identity ==
== Identity ==
{| border="0"
{| border="0"
|-
|-
-
| <math>\arg\sinh x</math> || <math>=\arg\cosh \sqrt{x^2+1}\ \ \ \ \ \ \ (x \ge 0)</math>
+
| <big>\(\arg\sinh x</math> || <big>\(=\arg\cosh \sqrt{x^2+1}\ \ \ \ \ \ \ (x \ge 0)</math>
|-
|-
-
|  || <math>=-\arg\cosh \sqrt{x^2+1}\ \ \ \ \ (x < 0)</math>
+
|  || <big>\(=-\arg\cosh \sqrt{x^2+1}\ \ \ \ \ (x < 0)</math>
|-
|-
-
|  || <math>=\arg\tanh \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}</math>
+
|  || <big>\(=\arg\tanh \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}</math>
|}
|}
-
<math>\arg\cosh x=\arg\sinh \sqrt{x^2-1}=\arg\tanh \frac{\sqrt{x^2-1}}{x}\ \ \ \ \ (x \ge 0)</math>
+
<big>\(\arg\cosh x=\arg\sinh \sqrt{x^2-1}=\arg\tanh \frac{\sqrt{x^2-1}}{x}\ \ \ \ \ (x \ge 0)</math>
-
<math>\arg\tanh x=\sinh \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\ \ \ \ \ (x \ge 0)</math>
+
<big>\(\arg\tanh x=\sinh \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\ \ \ \ \ (x \ge 0)</math>
{| border="0"
{| border="0"
|-
|-
-
| <math>\arg\tanh x</math> || <math>=\arg\sinh \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\ \ \ \ \ \ \ (|x|<1)</math>
+
| <big>\(\arg\tanh x</math> || <big>\(=\arg\sinh \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\ \ \ \ \ \ \ (|x|<1)</math>
|-
|-
-
|  || <math>=\arg\cosh \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\ \ \ \ \ (0\le x < 1)</math>
+
|  || <big>\(=\arg\cosh \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\ \ \ \ \ (0\le x < 1)</math>
|-
|-
-
|  || <math>=-\arg\cosh \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\ \ \ \ \ (-1< x \le 0)</math>
+
|  || <big>\(=-\arg\cosh \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\ \ \ \ \ (-1< x \le 0)</math>
|-
|-
-
|  || <math>=\arg\coth \frac{1}{x}\ \ \ \ \ (-1< x < 1,x \not= 0)</math>
+
|  || <big>\(=\arg\coth \frac{1}{x}\ \ \ \ \ (-1< x < 1,x \not= 0)</math>
|}
|}
{| border="0"
{| border="0"
|-
|-
-
| <math>\arg\coth x</math> || <math>=\arg\sinh \frac{1}{\sqrt{x^2-1}}\ \ \ \ \ (x>1)</math>
+
| <big>\(\arg\coth x</math> || <big>\(=\arg\sinh \frac{1}{\sqrt{x^2-1}}\ \ \ \ \ (x>1)</math>
|-
|-
-
|  || <math>=-\arg\sinh \frac{1}{\sqrt{x^2-1}}\ \ \ \ \ (x < -1)</math>
+
|  || <big>\(=-\arg\sinh \frac{1}{\sqrt{x^2-1}}\ \ \ \ \ (x < -1)</math>
|-
|-
-
|  || <math>=\arg\cosh \frac{x}{\sqrt{x^2-1}}\ \ \ \ \ (x > 1)</math>
+
|  || <big>\(=\arg\cosh \frac{x}{\sqrt{x^2-1}}\ \ \ \ \ (x > 1)</math>
|-
|-
-
|  || <math>=\arg\tanh \frac{1}{x}\ \ \ \ \ (|x|>1)</math>
+
|  || <big>\(=\arg\tanh \frac{1}{x}\ \ \ \ \ (|x|>1)</math>
|}
|}
-
<math>\arg\sinh x\pm \arg\sinh y=\arg\sinh (x\sqrt{1+y^2}\pm y\sqrt{1+x^2})</math>
+
<big>\(\arg\sinh x\pm \arg\sinh y=\arg\sinh (x\sqrt{1+y^2}\pm y\sqrt{1+x^2})</math>
-
<math>\arg\cosh x\pm \arg\cosh y=\arg\cosh (xy \pm \sqrt{(1+x^2)(y^2-1)})\ \ \ \ \ (x\ge1,y\ge1)</math>
+
<big>\(\arg\cosh x\pm \arg\cosh y=\arg\cosh (xy \pm \sqrt{(1+x^2)(y^2-1)})\ \ \ \ \ (x\ge1,y\ge1)</math>
-
<math>\arg\tanh x\pm \arg\tanh y=\arg\tanh \frac{x\pm y}{1\pm xy}\ \ \ \ \ (|x|<1,|y|<1)</math>
+
<big>\(\arg\tanh x\pm \arg\tanh y=\arg\tanh \frac{x\pm y}{1\pm xy}\ \ \ \ \ (|x|<1,|y|<1)</math>
== Derivace ==
== Derivace ==
-
<math>(\arg\sinh x)'=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}</math>
+
<big>\((\arg\sinh x)'=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}</math>
-
<math>(\arg\cosh x)'=\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}\ \ \ \ \ (x>1)</math>
+
<big>\((\arg\cosh x)'=\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}\ \ \ \ \ (x>1)</math>
-
<math>(\arg\tanh x)'=\frac{1}{1-x^2}\ \ \ \ \ (|x|<1)</math>
+
<big>\((\arg\tanh x)'=\frac{1}{1-x^2}\ \ \ \ \ (|x|<1)</math>
-
<math>(\arg\coth x)'=\frac{1}{1-x^2}\ \ \ \ \ (|x|>1)</math>
+
<big>\((\arg\coth x)'=\frac{1}{1-x^2}\ \ \ \ \ (|x|>1)</math>
== Integrál ==
== Integrál ==
-
<math>\int \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}{\rm d}x=\arg\sinh x+C</math>
+
<big>\(\int \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}{\rm d}x=\arg\sinh x+C</math>
-
<math>\int \frac{1}{\sqrt{x^2-1}}{\rm d}x=\arg\cosh x+C\ \ \ \ \ (x>1)</math>
+
<big>\(\int \frac{1}{\sqrt{x^2-1}}{\rm d}x=\arg\cosh x+C\ \ \ \ \ (x>1)</math>
{| border="0"
{| border="0"
|-
|-
-
| <math>\int \frac{1}{1-x^2}{\rm d}x</math> || <math>=\arg\tanh x+C\ \ \ \ \ (|x| < 1)</math>
+
| <big>\(\int \frac{1}{1-x^2}{\rm d}x</math> || <big>\(=\arg\tanh x+C\ \ \ \ \ (|x| < 1)</math>
|-
|-
-
| || <math>=\arg\coth x+C\ \ \ \ \ (|x| > 1)</math>
+
| || <big>\(=\arg\coth x+C\ \ \ \ \ (|x| > 1)</math>
|}
|}

Verze z 14. 8. 2022, 14:48

Hyperbolometrické funkce jsou funkce inverzní k funkcím hyperbolickým. Jedná se o funkce argument hyperbolického sinu (argsinh x), argument hyperbolického kosinu (argcosh x), argument hyperbolického tangens (argtanh x) a argument hyperbolického kotangens (argcoth x).

Obsah

Argument hyperbolického sinu (argsinh x)

Funkce \(y=\arg\sinh x</math>

Definiční obor

\( x \in \mathbb{R}</math>

Obor hodnot

\( y \in \mathbb{R}</math>

Parita

Lichá (inverzní funkce k liché funkci je lichá funkce)

Identita

\(\arg\sinh x=\ln(x+\sqrt{x^2+1})</math>

Argument hyperbolického kosinu (argcosh x)

Funkce \(y=\arg\cosh x</math>

Definiční obor

\(1 \le x <\infty</math>

Obor hodnot

\(0 \le y <\infty</math>

Parita

Ani lichá ani sudá

Identita

\(\arg\cosh x=\ln(x+\sqrt{x^2-1})</math>

Argument hyperbolického tangens (argtanh x)

Funkce \(y=\arg\tanh x</math>

Definiční obor

\(-1 < x <1</math> resp. \(|x|<1</math>

Obor hodnot

\( y \in \mathbb{R}</math>

Parita

Lichá (inverzní funkce k liché funkci je lichá funkce)

Identita

\(\arg\tanh x=\frac{1}{2} \ln\frac{1+x}{1-x}</math>

Argument hyperbolického kotangens (argcoth x)

Funkce \(y=\arg\coth x</math>

Definiční obor

\(|x|>1</math>

Obor hodnot

\(y=\mathbb{R}-\{0\}</math>

Parita

Lichá (inverzní funkce k liché funkci je lichá funkce)

Identita

\(\arg\coth x=\frac{1}{2} \ln\frac{x+1}{x-1}</math>

Identity

\(\arg\sinh x</math> \(=\arg\cosh \sqrt{x^2+1}\ \ \ \ \ \ \ (x \ge 0)</math>
\(=-\arg\cosh \sqrt{x^2+1}\ \ \ \ \ (x < 0)</math>
\(=\arg\tanh \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}</math>

\(\arg\cosh x=\arg\sinh \sqrt{x^2-1}=\arg\tanh \frac{\sqrt{x^2-1}}{x}\ \ \ \ \ (x \ge 0)</math>

\(\arg\tanh x=\sinh \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\ \ \ \ \ (x \ge 0)</math>

\(\arg\tanh x</math> x|<1)</math>
\(=\arg\cosh \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\ \ \ \ \ (0\le x < 1)</math>
\(=-\arg\cosh \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\ \ \ \ \ (-1< x \le 0)</math>
\(=\arg\coth \frac{1}{x}\ \ \ \ \ (-1< x < 1,x \not= 0)</math>
\(\arg\coth x</math> \(=\arg\sinh \frac{1}{\sqrt{x^2-1}}\ \ \ \ \ (x>1)</math>
\(=-\arg\sinh \frac{1}{\sqrt{x^2-1}}\ \ \ \ \ (x < -1)</math>
\(=\arg\cosh \frac{x}{\sqrt{x^2-1}}\ \ \ \ \ (x > 1)</math>
x|>1)</math>

\(\arg\sinh x\pm \arg\sinh y=\arg\sinh (x\sqrt{1+y^2}\pm y\sqrt{1+x^2})</math>

\(\arg\cosh x\pm \arg\cosh y=\arg\cosh (xy \pm \sqrt{(1+x^2)(y^2-1)})\ \ \ \ \ (x\ge1,y\ge1)</math>

\(\arg\tanh x\pm \arg\tanh y=\arg\tanh \frac{x\pm y}{1\pm xy}\ \ \ \ \ (|x|<1,|y|<1)</math>

Derivace

\((\arg\sinh x)'=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}</math>

\((\arg\cosh x)'=\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}\ \ \ \ \ (x>1)</math>

\((\arg\tanh x)'=\frac{1}{1-x^2}\ \ \ \ \ (|x|<1)</math>

\((\arg\coth x)'=\frac{1}{1-x^2}\ \ \ \ \ (|x|>1)</math>

Integrál

\(\int \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}{\rm d}x=\arg\sinh x+C</math>

\(\int \frac{1}{\sqrt{x^2-1}}{\rm d}x=\arg\cosh x+C\ \ \ \ \ (x>1)</math>

\(\int \frac{1}{1-x^2}{\rm d}x</math> x| < 1)</math>
x| > 1)</math>

Externí odkazy


Citováno z „http://ww.multimediaexpo.cz/mmecz/index.php/Hyperbolometrick%C3%A1_funkce“