Ideál (teorie okruhů)

Z Multimediaexpo.cz

(Rozdíly mezi verzemi)

Verze z 14. 8. 2022, 14:48

Ideál je matematický pojem z oblasti algebry označující podmnožinu nějakého okruhu s jistými „dobrými“ vlastnostmi.

Tak jako normální podgrupy jsou speciálními případy podgrup, jsou rovněž ideály jisté podokruhy daného okruhu.

Definice

Množina \(\emptyset \neq I \subseteq R</math>, kde R je okruh, se nazývá levý resp. pravý ideál, má-li následující vlastnosti:

pro každé \(a,b \in I</math> je také \(a-b \in I</math>
pro každé \(a \in I</math> a každé \(r \in R</math> je také \(r\cdot a \in I</math> resp. \(a\cdot r \in I</math>

Je-li ideál zároveň levý i pravý, nazývá se oboustranný ideál, nebo prostě jen ideál.

Nechť (R, +, •) je okruh, M je libovolná podmnožina množiny R. Potom průnik všech ideálů v R, které obsahují množinu M, je ideál v R, který se nazývá ideálem generovaným množinou a značí se [M]. Množina M se nazývá systém generátorů ideálu [M] a její prvky generátory tohoto ideálu.

Prázdná množina generuje v libovolném okruhu nulový ideál R.

Příklady ideálů

V každém okruhu R jsou množiny {0} a R ideály. Tyto ideály se nazývají triviální ideály v R. Ideál, který není triviální se nazývá netriviální nebo také vlastní.
Každá podmnožina tvaru \((a)=\{a\cdot r;r\in R\}</math> je ideál v R. Ideály tvaru (a) se nazývají hlavní ideály v R.
V okruhu celých čísel je množina všech sudých čísel ideálem, konkrétně hlavním ideálem (2).
Libovolný podokruh komutativního okruhu nemusí být jeho ideálem. Například v okruhu racionálních čísel (Q,+,•) tvoří celá čísla podokruh (Z,+,•). Ten však není ideálem v Q, neboť nesplňuje podmínku: pro každé \(a \in I</math> a každé \(r \in R</math> je také \(r\cdot a \in I</math> resp. \(a\cdot r \in I</math>. Stačí volit třeba \( a = 3, r = { \frac{1}{2}} </math>, pak \(3 \in Z</math> a \( 3 \cdot { \frac{1}{2}}={ \frac{3}{2}} \notin Z </math>

Operace s ideály

průnik ideálů I,J je ideál \(I\cap J</math>, který je největším ideálem, obsaženém v obou ideálech I,J.
součet ideálů I,J je ideál \(\,I+J=\{i+j; i\in I, j\in J\}</math>, který je nejmenším ideálem obsahujícím oba ideály I,J.
součin ideálů I,J je ideál \(I \cdot J = \{\sum_{k=1}^{n}a_k \cdot b_k ; n\in N, a_k \in I, b_k \in J\}</math>

Vlastnosti

Ideál I v okruhu R se nazývá maximální ideál, je-li \(I \neq R</math> a pro každý ideál J, že \(I\subseteq J</math>, je I = J nebo J = R.
Ideál I v okruhu R se nazývá prvoideál, jestliže pro každé \(a,b \in R</math> takové, že \(a\cdot b \in I</math>, je buďto \(a \in I</math> nebo \(b \in I</math>.
Jsou-li \(a_1, a_2, </math> … , \(a_k</math> libovolné prvky z ideálu I v okruhu R, je každá jejich lineární kombinace s koeficienty z R prvkem ideálu I, tj. \((\forall r_1, r_2, </math>… , \( r_k \in R)</math> \(a_1r_1 + a_2r_2 + </math>… \( + a_kr_k \in I</math>.

Příklad:

V okruhu celých čísel Z máme určit ideál I = [96, 14]. Snažíme se v tomto ideálu najít nenulové číslo s co nejmenší absolutní hodnotou. Musí být 1 • 96 + (- 6) •14 = 12 ∈ I a též 1 • 14 + (- 1) •12 = 2 ∈ I . Podle druhé podmínky (viz výše) obsahuje I všechny celočíselné násobky čísla 2, tj. všechna sudá čísla. Protože podle definice ideálu (Podmnožina I okruhu R je ideálem v právě tehdy, když je neprázdná a platí pro ni podmínky viz. výše) množina všech sudých čísel tvoří zřejmě ideál v Z, je I = {..., -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6, ...}.

Týž ideál může mít různé systémy generátorů. Např. ideál I z předchozího příkladu je generován číslem 2, tj. I = [2], a též například I = [6, 8, -10].

Platí věta: Každý maximální ideál je prvoideál. Opačné tvrzení v obecném případě neplatí, tj. existují prvoideály, které nejsou maximální. Pokud však R je číselný okruh (tj. podokruh okruhu komplexních algebraických celých čísel), je každý prvoideál v R maximálním ideálem.

Ideály jsou právě ty množiny, faktorizací podle nichž vznikne z okruhu opět okruh.
Prvoideály jsou právě ty množiny, faktorizací podle nichž vznikne z okruhu obor integrity.
Maximální ideály jsou právě ty množiny, faktorizací podle nichž vznikne těleso.

Věta

Nechť R je okruh s jednotkovým prvkem a nechť \( M = \{a_1, a_2, </math>… \( , a_k \sube R\}</math>. Pak ideál [M] se skládá právě ze všech prvků tvaru \((\forall r_1, r_2, </math>… , \( r_k \in R)</math> \(a_1r_1 + a_2r_2 + </math>… \( + a_kr_k \in I</math>, tj. [M] = I, kde \(I = \{ a_1r_1 + a_2r_2 + </math>… \( + a_kr_k; r_1, r_2, </math>… \( , r_k\in R\}</math>.

Příklad užití této věty

V okruhu Z[x] polynomů jedné neurčité s celočíselnými koeficienty máme sestrojit ideál [x, 2]. Podle věty výše (v Z[x] existuje jednotkový prvek) se tento ideál skládá ze všech prvků tvaru: \(x \cdot f_1(x) + 2 \cdot f_2(x) </math> kde \(f_1(x),f_2(x) \in Z[x]</math>.

Tedy [x, 2] je množina všech polynomů \(a_0 + a_1x + </math>… \( + a_x x^n \in Z[x]</math>, jejíž člen a₀ je sudé číslo. Ideál [x, 2] je tudíž vlastní podmnožina v Z[x].

Literatura

BLAŽEK, Jaroslav, Milan KOMAN a Blanka VOJTÁŠKOVÁ. Algebra a teoretická aritmetika. 1. vyd. Praha: Státní pedagogické nakladatelství, 1985, 258 s. Učebnice pro vysoké školy (Státní pedagogické nakladatelství).

Související články

Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010
Informace o článku. Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. Tento text je dostupný za podmínek Creative Commons 3.0 Unported – creativecommons.org. Originální článek na české Wikipedii

@@ Řádka 3: / Řádka 3: @@
 == Definice ==
-Množina <math>\emptyset \neq I \subseteq R</math>, kde ''R'' je [[okruh (algebra)|okruh]], se nazývá levý resp. pravý '''ideál''', má-li následující vlastnosti:
+Množina <big>\(\emptyset \neq I \subseteq R</math>, kde ''R'' je [[okruh (algebra)|okruh]], se nazývá levý resp. pravý '''ideál''', má-li následující vlastnosti:
-* pro každé <math>a,b \in I</math> je také <math>a-b \in I</math>
+* pro každé <big>\(a,b \in I</math> je také <big>\(a-b \in I</math>
-* pro každé <math>a \in I</math> a každé <math>r \in R</math> je také <math>r\cdot a \in I</math> resp. <math>a\cdot r \in I</math>
+* pro každé <big>\(a \in I</math> a každé <big>\(r \in R</math> je také <big>\(r\cdot a \in I</math> resp. <big>\(a\cdot r \in I</math>
 Je-li ideál zároveň levý i pravý, nazývá se oboustranný ideál, nebo prostě jen ideál.
@@ Řádka 15: / Řádka 15: @@
 == Příklady ideálů ==
 * V každém okruhu ''R'' jsou [[množina|množiny]] ''{0}'' a ''R'' ideály. Tyto ideály se nazývají '''triviální ideály''' v ''R''. Ideál, který není triviální se nazývá '''netriviální''' nebo také '''vlastní'''.
-* Každá podmnožina tvaru <math>(a)=\{a\cdot r;r\in R\}</math> je ideál v ''R''. Ideály tvaru ''(a)'' se nazývají '''[[hlavní ideál (teorie okruhů)|hlavní ideál]]y''' v ''R''.
+* Každá podmnožina tvaru <big>\((a)=\{a\cdot r;r\in R\}</math> je ideál v ''R''. Ideály tvaru ''(a)'' se nazývají '''[[hlavní ideál (teorie okruhů)|hlavní ideál]]y''' v ''R''.
 * V okruhu [[celé číslo|celých čísel]] je množina všech [[Sudá a lichá čísla|sudých čísel]] ideálem, konkrétně hlavním ideálem (2).
-* Libovolný podokruh komutativního okruhu nemusí být jeho ideálem. Například v okruhu racionálních čísel (''Q'',+,•) tvoří celá čísla podokruh (''Z'',+,•). Ten však není ideálem v '''Q''', neboť nesplňuje podmínku: pro každé <math>a \in I</math> a každé <math>r \in R</math> je také <math>r\cdot a \in I</math> resp. <math>a\cdot r \in I</math>. Stačí volit třeba <math> a = 3, r = { \frac{1}{2}} </math>, pak <math>3 \in Z</math> a <math> 3 \cdot { \frac{1}{2}}={ \frac{3}{2}} \notin Z </math>
+* Libovolný podokruh komutativního okruhu nemusí být jeho ideálem. Například v okruhu racionálních čísel (''Q'',+,•) tvoří celá čísla podokruh (''Z'',+,•). Ten však není ideálem v '''Q''', neboť nesplňuje podmínku: pro každé <big>\(a \in I</math> a každé <big>\(r \in R</math> je také <big>\(r\cdot a \in I</math> resp. <big>\(a\cdot r \in I</math>. Stačí volit třeba <big>\( a = 3, r = { \frac{1}{2}} </math>, pak <big>\(3 \in Z</math> a <big>\( 3 \cdot { \frac{1}{2}}={ \frac{3}{2}} \notin Z </math>
 == Operace s ideály ==
-* '''[[průnik]]''' ideálů ''I,J'' je ideál <math>I\cap J</math>, který je největším ideálem, obsaženém v obou ideálech ''I,J''.
+* '''[[průnik]]''' ideálů ''I,J'' je ideál <big>\(I\cap J</math>, který je největším ideálem, obsaženém v obou ideálech ''I,J''.
-* '''součet''' ideálů ''I,J'' je ideál <math>\,I+J=\{i+j; i\in I, j\in J\}</math>, který je nejmenším ideálem obsahujícím oba ideály ''I,J''.
+* '''součet''' ideálů ''I,J'' je ideál <big>\(\,I+J=\{i+j; i\in I, j\in J\}</math>, který je nejmenším ideálem obsahujícím oba ideály ''I,J''.
-* '''součin''' ideálů ''I,J'' je ideál <math>I \cdot J = \{\sum_{k=1}^{n}a_k \cdot b_k ; n\in N, a_k \in I, b_k \in J\}</math>
+* '''součin''' ideálů ''I,J'' je ideál <big>\(I \cdot J = \{\sum_{k=1}^{n}a_k \cdot b_k ; n\in N, a_k \in I, b_k \in J\}</math>
 == Vlastnosti ==
-* Ideál ''I'' v okruhu ''R'' se nazývá '''maximální ideál''', je-li <math>I \neq R</math> a pro každý ideál ''J'', že <math>I\subseteq J</math>, je ''I = J'' nebo ''J = R''.
+* Ideál ''I'' v okruhu ''R'' se nazývá '''maximální ideál''', je-li <big>\(I \neq R</math> a pro každý ideál ''J'', že <big>\(I\subseteq J</math>, je ''I = J'' nebo ''J = R''.
-* Ideál ''I'' v okruhu ''R'' se nazývá '''[[prvoideál (teorie okruhů)|prvoideál]]''', jestliže pro každé <math>a,b \in R</math> takové, že <math>a\cdot b \in I</math>, je buďto <math>a \in I</math> nebo <math>b \in I</math>.
+* Ideál ''I'' v okruhu ''R'' se nazývá '''[[prvoideál (teorie okruhů)|prvoideál]]''', jestliže pro každé <big>\(a,b \in R</math> takové, že <big>\(a\cdot b \in I</math>, je buďto <big>\(a \in I</math> nebo <big>\(b \in I</math>.
-* Jsou-li  <math>a_1, a_2, </math> … , <math>a_k</math> libovolné prvky z ideálu ''I'' v okruhu ''R'', je každá jejich lineární kombinace s koeficienty z ''R'' prvkem ideálu ''I'', tj. <math>(\forall r_1, r_2, </math>… , <math> r_k \in R)</math> <math>a_1r_1 + a_2r_2 + </math>… <math> + a_kr_k \in I</math>.
+* Jsou-li  <big>\(a_1, a_2, </math> … , <big>\(a_k</math> libovolné prvky z ideálu ''I'' v okruhu ''R'', je každá jejich lineární kombinace s koeficienty z ''R'' prvkem ideálu ''I'', tj. <big>\((\forall r_1, r_2, </math>… , <big>\( r_k \in R)</math> <big>\(a_1r_1 + a_2r_2 + </math>… <big>\( + a_kr_k \in I</math>.
@@ Řádka 44: / Řádka 44: @@
 == Věta ==
-Nechť ''R'' je okruh s jednotkovým prvkem a nechť <math> M = \{a_1, a_2, </math>… <math> , a_k \sube R\}</math>. Pak ideál [''M''] se skládá právě ze všech prvků tvaru <math>(\forall r_1, r_2, </math>… , <math> r_k \in R)</math> <math>a_1r_1 + a_2r_2 + </math>… <math> + a_kr_k \in I</math>, tj. [''M''] = ''I'', kde <math>I = \{ a_1r_1 + a_2r_2 + </math>… <math> + a_kr_k; r_1, r_2, </math>… <math> , r_k\in R\}</math>.
+Nechť ''R'' je okruh s jednotkovým prvkem a nechť <big>\( M = \{a_1, a_2, </math>… <big>\( , a_k \sube R\}</math>. Pak ideál [''M''] se skládá právě ze všech prvků tvaru <big>\((\forall r_1, r_2, </math>… , <big>\( r_k \in R)</math> <big>\(a_1r_1 + a_2r_2 + </math>… <big>\( + a_kr_k \in I</math>, tj. [''M''] = ''I'', kde <big>\(I = \{ a_1r_1 + a_2r_2 + </math>… <big>\( + a_kr_k; r_1, r_2, </math>… <big>\( , r_k\in R\}</math>.
 '''Příklad užití této věty'''
-V okruhu '''Z'''[''x''] polynomů jedné neurčité s celočíselnými koeficienty máme sestrojit ideál [''x'', 2]. Podle věty výše (v '''Z'''[''x''] existuje jednotkový prvek) se tento ideál skládá ze všech prvků tvaru: <math>x \cdot f_1(x) + 2 \cdot f_2(x) </math> kde <math>f_1(x),f_2(x) \in Z[x]</math>.
+V okruhu '''Z'''[''x''] polynomů jedné neurčité s celočíselnými koeficienty máme sestrojit ideál [''x'', 2]. Podle věty výše (v '''Z'''[''x''] existuje jednotkový prvek) se tento ideál skládá ze všech prvků tvaru: <big>\(x \cdot f_1(x) + 2 \cdot f_2(x) </math> kde <big>\(f_1(x),f_2(x) \in Z[x]</math>.
-Tedy  [''x'', 2] je množina všech polynomů <math>a_0 + a_1x + </math>… <math> + a_x x^n \in Z[x]</math>, jejíž člen ''a''<sub>0</sub> je sudé číslo. Ideál [''x'', 2] je tudíž vlastní podmnožina v  '''Z'''[''x''].
+Tedy  [''x'', 2] je množina všech polynomů <big>\(a_0 + a_1x + </math>… <big>\( + a_x x^n \in Z[x]</math>, jejíž člen ''a''<sub>0</sub> je sudé číslo. Ideál [''x'', 2] je tudíž vlastní podmnožina v  '''Z'''[''x''].
 == Literatura ==