Vážený průměr

Z Multimediaexpo.cz

(Rozdíly mezi verzemi)

Verze z 14. 8. 2022, 14:50

Vážený průměr zobecňuje aritmetický průměr a poskytuje charakteristiku statistického souboru v případě, že hodnoty v tomto souboru mají různou důležitost, různou váhu. Používá se zejména při počítání celkového aritmetického průměru souboru složeného z více podsouborů.

Pro výpočet váženého průměru potřebujeme jednak hodnoty, jejichž průměr chceme spočítat, a zároveň jejich váhy.

Máme-li soubor \(n</math> hodnot

\(X = \{x_1, \ldots, x_n\}</math>

a k nim odpovídající váhy

\(W = \{w_1, \ldots, w_n\}</math>,

je vážený průměr dán vzorcem

\(\bar{x} = \frac{ \sum_{i=1}^n w_i x_i}{\sum_{i=1}^n w_i}</math>

či

\(\bar{x} = \frac{w_1 x_1 + w_2 x_2 + w_3 x_3 + ... + w_n x_n}{w_1 + w_2 + w_3 + ... + w_n}</math>

Pokud jsou všechny váhy stejné, je vážený průměr totožný s aritmetickým průměrem. Ačkoli se vážený průměr chová podobně jako aritmetický průměr, má několik nezvyklých vlastností, které jsou například vyjádřeny v Simpsonově paradoxu.

Vážené verze jiných průměrů lze také spočítat. Příkladem je vážený geometrický průměr nebo vážený harmonický průměr.

Příklad

Řekněme, že škola má dvě třídy, jednu s 20 studenty a druhou s 32. Bodové ohodnocení v každé třídě při jednom testu bylo

Třída A — 62, 67, 71, 74, 76, 77, 78, 79, 79, 80, 80, 81, 81, 82, 83, 84, 86, 89, 93, 98
Třída B — 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 87, 88, 88, 89, 89, 89, 90, 90, 90, 90, 91, 91, 91, 92, 92, 93, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100

Aritmetický průměr bodů ve třídě A je 80, ve třídě B je 90. Když spočítáme aritmetický průměr 80 a 90, dostaneme 85. Toto ovšem není aritmetický průměr bodů všech studentů. K jeho určení potřebujeme spočítat součet všech bodů a vydělit počtem všech studentů, tedy

\(\bar{x} = \frac{4480}{52} = 86,15385</math>

Nebo si můžeme pomoci váženým průměrem a spočítat vážený průměr průměrů bodů obou tříd použitím počtu studentů jako vah:

\(\bar{x} = \frac{20\cdot 80 + 32\cdot 90}{20 + 32} = 86,15385</math>

Nyní jsme již nepotřebovali znát, k spočtení aritmetického průměru všech bodů, jednotlivé známky, stačily nám pouze aritmetické průměry a počty studentů v jednotlivých třídách.

Příklad z praxe

Průměrná denní teplota se v meteorologii stanovuje jako průměr z teploty vzduchu naměřené v 7 hodin, teploty ve 14 hodin a teploty v 21 hodin, přičemž poslední údaj se započítává s dvojnásobnou váhou. Platí tedy

\(\bar{t} = \frac{t_7 + t_{14} + 2\cdot t_{21}}{4}</math>

Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010
Informace o článku. Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. Tento text je dostupný za podmínek Creative Commons 3.0 Unported – creativecommons.org. Originální článek na české Wikipedii

@@ Řádka 3: / Řádka 3: @@
 Pro výpočet váženého průměru potřebujeme jednak hodnoty, jejichž průměr chceme spočítat, a zároveň jejich váhy.
-Máme-li soubor <math>n</math> hodnot
+Máme-li soubor <big>\(n</math> hodnot
-:<math>X = \{x_1, \ldots, x_n\}</math>
+:<big>\(X = \{x_1, \ldots, x_n\}</math>
 a k nim odpovídající váhy
-:<math>W = \{w_1, \ldots, w_n\}</math>,
+:<big>\(W = \{w_1, \ldots, w_n\}</math>,
 je vážený průměr dán vzorcem
-:<math>\bar{x} = \frac{ \sum_{i=1}^n w_i x_i}{\sum_{i=1}^n w_i}</math>
+:<big>\(\bar{x} = \frac{ \sum_{i=1}^n w_i x_i}{\sum_{i=1}^n w_i}</math>
 či
-:<math>\bar{x} = \frac{w_1 x_1 + w_2 x_2 + w_3 x_3 + ... + w_n x_n}{w_1 + w_2 + w_3 + ... + w_n}</math>
+:<big>\(\bar{x} = \frac{w_1 x_1 + w_2 x_2 + w_3 x_3 + ... + w_n x_n}{w_1 + w_2 + w_3 + ... + w_n}</math>
 Pokud jsou všechny váhy stejné, je vážený průměr totožný s aritmetickým průměrem. Ačkoli se vážený průměr chová podobně jako aritmetický průměr, má několik nezvyklých vlastností, které jsou například vyjádřeny v [[Simpsonův paradox|Simpsonově paradoxu]].
@@ Řádka 25: / Řádka 25: @@
 Aritmetický průměr bodů ve třídě A je 80, ve třídě B je 90. Když spočítáme aritmetický průměr 80 a 90, dostaneme 85. Toto ovšem není aritmetický průměr bodů všech studentů. K jeho určení potřebujeme spočítat součet všech bodů a vydělit počtem všech studentů, tedy
-:<math>\bar{x} = \frac{4480}{52} = 86,15385</math>
+:<big>\(\bar{x} = \frac{4480}{52} = 86,15385</math>
 Nebo si můžeme pomoci váženým průměrem a spočítat vážený průměr průměrů bodů obou tříd použitím počtu studentů jako vah:
-:<math>\bar{x} = \frac{20\cdot 80 + 32\cdot 90}{20 + 32} = 86,15385</math>
+:<big>\(\bar{x} = \frac{20\cdot 80 + 32\cdot 90}{20 + 32} = 86,15385</math>
 Nyní jsme již nepotřebovali znát, k spočtení aritmetického průměru všech bodů, jednotlivé známky, stačily nám pouze aritmetické průměry a počty studentů v jednotlivých třídách.
@@ Řádka 36: / Řádka 36: @@
 Průměrná denní [[Teplota#Meteorologie a klimatologie|teplota]] se v meteorologii stanovuje jako průměr z teploty vzduchu naměřené v 7 hodin, teploty ve 14 hodin a teploty v 21 hodin, přičemž poslední údaj se započítává s dvojnásobnou váhou. Platí tedy
-:<math>\bar{t} = \frac{t_7 + t_{14} + 2\cdot t_{21}}{4}</math>
+:<big>\(\bar{t} = \frac{t_7 + t_{14} + 2\cdot t_{21}}{4}</math>
 {{Článek z Wikipedie}}
 [[Kategorie:Statistika]]