Sinová věta
Z Multimediaexpo.cz
(Rozdíly mezi verzemi)
m (Nahrazení textu „<math>“ textem „<big>\(“) |
m (Nahrazení textu „</math>“ textem „\)</big>“) |
||
| Řádka 3: | Řádka 3: | ||
Pro každý trojúhelník ABC s vnitřními [[úhel|úhly]] α, β, γ a stranami ''a'', ''b'', ''c'' platí: | Pro každý trojúhelník ABC s vnitřními [[úhel|úhly]] α, β, γ a stranami ''a'', ''b'', ''c'' platí: | ||
| - | :<big>\(\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma}</ | + | :<big>\(\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma}\)</big>. |
Neboli: „Poměr všech délek stran a hodnot [[sinus|sinů]] jim protilehlých úhlů je v trojúhelníku konstantní.“ | Neboli: „Poměr všech délek stran a hodnot [[sinus|sinů]] jim protilehlých úhlů je v trojúhelníku konstantní.“ | ||
| Řádka 9: | Řádka 9: | ||
Větu lze ovšem zformulovat také takto: | Větu lze ovšem zformulovat také takto: | ||
| - | :<big>\(\frac{a}{b} = \frac{\sin \alpha}{\sin \beta}</ | + | :<big>\(\frac{a}{b} = \frac{\sin \alpha}{\sin \beta}\)</big> , či takto: <big>\(\frac{b}{c} = \frac{\sin \beta}{\sin \gamma}\)</big> , nebo takto: <big>\(\frac{c}{a} = \frac{\sin \gamma}{\sin \alpha}\)</big>, |
s významem: „Poměr délek stran trojúhelníku se rovná poměru sinů velikostí jim protilehlých úhlů.“ | s významem: „Poměr délek stran trojúhelníku se rovná poměru sinů velikostí jim protilehlých úhlů.“ | ||
| Řádka 18: | Řádka 18: | ||
== Důkaz věty == | == Důkaz věty == | ||
Mějme trojúhelník ''ABC''. Bod ''P'' je pata výšky ''v<sub>c</sub>''. Pak | Mějme trojúhelník ''ABC''. Bod ''P'' je pata výšky ''v<sub>c</sub>''. Pak | ||
| - | :<big>\(\left|CP\right| = \left|AC\right|\cdot \sin \alpha = b \cdot \sin \alpha</ | + | :<big>\(\left|CP\right| = \left|AC\right|\cdot \sin \alpha = b \cdot \sin \alpha\)</big> |
a zároveň | a zároveň | ||
| - | :<big>\(\left|CP\right| = \left|BC\right|\cdot \sin \beta = a \cdot \sin \beta</ | + | :<big>\(\left|CP\right| = \left|BC\right|\cdot \sin \beta = a \cdot \sin \beta\)</big>. |
Pak tedy | Pak tedy | ||
| - | :<big>\(a \cdot \sin \beta = b \cdot \sin \alpha</ | + | :<big>\(a \cdot \sin \beta = b \cdot \sin \alpha\)</big>, |
což je totéž jako | což je totéž jako | ||
| - | :<big>\(\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta}</ | + | :<big>\(\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta}\)</big>. |
Ostatní rovnosti lze získat cyklickou záměnou stran. | Ostatní rovnosti lze získat cyklickou záměnou stran. | ||
| Řádka 30: | Řádka 30: | ||
Jsou tedy 2 pravoúhlé trojúhelníky nebo 4 pravoúhlé trojúhelníky s průmětem dvou mi uhlopříček | Jsou tedy 2 pravoúhlé trojúhelníky nebo 4 pravoúhlé trojúhelníky s průmětem dvou mi uhlopříček | ||
| - | <big>\(sin(90) = 1 = sin(45)/sin(45)</ | + | <big>\(sin(90) = 1 = sin(45)/sin(45)\)</big> |
tedy poloměr stran '''= 4:4 =1:1 a*a''' z toho lze vyvodit vzorec pro výpočet obsahu čtverce | tedy poloměr stran '''= 4:4 =1:1 a*a''' z toho lze vyvodit vzorec pro výpočet obsahu čtverce | ||
| - | <big>\(S=a^2</ | + | <big>\(S=a^2\)</big> |
== Průměr kružnice opsané trojúhelníku == | == Průměr kružnice opsané trojúhelníku == | ||
Konstantní [[poměr]] délek stran a jim protilehlých úhlů je zároveň '''průměrem kružnice danému trojúhelníku opsané'''. Tedy: | Konstantní [[poměr]] délek stran a jim protilehlých úhlů je zároveň '''průměrem kružnice danému trojúhelníku opsané'''. Tedy: | ||
| - | :<big>\(\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma} = d</ | + | :<big>\(\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma} = d\)</big> |
z čehož lze odvodit také její poloměr | z čehož lze odvodit také její poloměr | ||
| - | :<big>\(\frac{a}{2\cdot\sin \alpha} = \frac{b}{2\cdot\sin \beta} = \frac{c}{2\cdot\sin \gamma} = r</ | + | :<big>\(\frac{a}{2\cdot\sin \alpha} = \frac{b}{2\cdot\sin \beta} = \frac{c}{2\cdot\sin \gamma} = r\)</big> |
== Související články == | == Související články == | ||
Aktuální verze z 14. 8. 2022, 14:53
V trigonometrii je sinová věta důležité tvrzení o rovinných trojúhelnících. Nejčastěji zní takto:
Pro každý trojúhelník ABC s vnitřními úhly α, β, γ a stranami a, b, c platí:
- \(\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma}\).
Neboli: „Poměr všech délek stran a hodnot sinů jim protilehlých úhlů je v trojúhelníku konstantní.“
Větu lze ovšem zformulovat také takto:
- \(\frac{a}{b} = \frac{\sin \alpha}{\sin \beta}\) , či takto: \(\frac{b}{c} = \frac{\sin \beta}{\sin \gamma}\) , nebo takto: \(\frac{c}{a} = \frac{\sin \gamma}{\sin \alpha}\),
s významem: „Poměr délek stran trojúhelníku se rovná poměru sinů velikostí jim protilehlých úhlů.“
Věta se používá zejména v následujících dvou případech:
- Máme dány dva úhly trojúhelníku a délku jedné jeho strany a chceme dopočítat velikosti zbývajících stran. To je typická úloha při triangulaci.
- Známe délky dvou stran trojúhelníku a velikost vnitřního úhlu který nesvírají, a chceme zjistit zbývající úhly. V tomto případě se ovšem stává, že nám věta poskytne dvojici řešení, z nichž však pouze jedno dává součet úhlů 180° a tedy umožní sestavit trojúhelník.
Obsah |
Důkaz věty
Mějme trojúhelník ABC. Bod P je pata výšky vc. Pak
- \(\left|CP\right| = \left|AC\right|\cdot \sin \alpha = b \cdot \sin \alpha\)
a zároveň
- \(\left|CP\right| = \left|BC\right|\cdot \sin \beta = a \cdot \sin \beta\).
Pak tedy
- \(a \cdot \sin \beta = b \cdot \sin \alpha\),
což je totéž jako
- \(\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta}\).
Ostatní rovnosti lze získat cyklickou záměnou stran.
Čtverec
Jsou tedy 2 pravoúhlé trojúhelníky nebo 4 pravoúhlé trojúhelníky s průmětem dvou mi uhlopříček \(sin(90) = 1 = sin(45)/sin(45)\)
tedy poloměr stran = 4:4 =1:1 a*a z toho lze vyvodit vzorec pro výpočet obsahu čtverce
\(S=a^2\)
Průměr kružnice opsané trojúhelníku
Konstantní poměr délek stran a jim protilehlých úhlů je zároveň průměrem kružnice danému trojúhelníku opsané. Tedy:
- \(\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma} = d\)
z čehož lze odvodit také její poloměr
- \(\frac{a}{2\cdot\sin \alpha} = \frac{b}{2\cdot\sin \beta} = \frac{c}{2\cdot\sin \gamma} = r\)
Související články
| Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010 |
|---|
| Informace o článku.
Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. |