Totálně omezený metrický prostor
Z Multimediaexpo.cz
m (Nahrazení textu „<math>“ textem „<big>\(“) |
m (Nahrazení textu „</math>“ textem „\)</big>“) |
||
| Řádka 3: | Řádka 3: | ||
podmnožina ''S'' prostoru ''X'' je totálně omezená tehdy a pouze tehdy, pokud pro danou velikost ''E'' existuje: | podmnožina ''S'' prostoru ''X'' je totálně omezená tehdy a pouze tehdy, pokud pro danou velikost ''E'' existuje: | ||
| - | * [[přirozené číslo]] ''n'' a soubor <big>\(A_1, A_2, A_3,... A_n</ | + | * [[přirozené číslo]] ''n'' a soubor <big>\(A_1, A_2, A_3,... A_n\)</big> podmnožin množiny ''X'', takový, že |
** ''S'' je podmnožinou [[sjednocení]] těchto podmnožin (jinak řečeno, tento soubor podmnožin je konečné pokrytí množiny ''S'') a | ** ''S'' je podmnožinou [[sjednocení]] těchto podmnožin (jinak řečeno, tento soubor podmnožin je konečné pokrytí množiny ''S'') a | ||
** každá podmnožina ''A<sub>i</sub>'' má velikost ''E'' (nebo menší). | ** každá podmnožina ''A<sub>i</sub>'' má velikost ''E'' (nebo menší). | ||
V [[matematická symbolika|matematické symbolice]]: | V [[matematická symbolika|matematické symbolice]]: | ||
| - | : <big>\( \forall_{E}\; \exists_{n \in \mathbb{N}}\; \exists_{ A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{n} \subseteq X}\left ( S \subseteq \bigcup_{i=1}^{n} A_{i} \; \mbox{a zaroven}\; \forall_{i = 1, \ldots, n}\; \mathrm{velikost}(A_{i}) \leq E \right ). \! </ | + | : <big>\( \forall_{E}\; \exists_{n \in \mathbb{N}}\; \exists_{ A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{n} \subseteq X}\left ( S \subseteq \bigcup_{i=1}^{n} A_{i} \; \mbox{a zaroven}\; \forall_{i = 1, \ldots, n}\; \mathrm{velikost}(A_{i}) \leq E \right ). \! \)</big> |
Uvažujeme-li ''P=X'', pak je prostor ''X'' totálně omezený tehdy a jen tehdy, je li ''P'' totálně omezená množina. | Uvažujeme-li ''P=X'', pak je prostor ''X'' totálně omezený tehdy a jen tehdy, je li ''P'' totálně omezená množina. | ||
| Řádka 14: | Řádka 14: | ||
;Totální omezenost je silnější vlastnost, než [[Omezená množina|omezenost]]. | ;Totální omezenost je silnější vlastnost, než [[Omezená množina|omezenost]]. | ||
| - | Ukážeme to na příkladu. Uvažme prostor <big>\(M </ | + | Ukážeme to na příkladu. Uvažme prostor <big>\(M \)</big> všech [[Omezená posloupnost|omezených posloupností]] reálných čísel, kde metrika přiřadí dvojici posloupností <big>\( a_i,\, b_i \,\! \)</big> [[supremum]] z absolutní hodnoty jejich rozdílu přes všechny položky, tedy supremum z čísel <big>\( \left|a_1-b_1\right | ,\, \left|a_2-b_2\right | \dots \,\! \)</big>. |
| - | Uvažme množinu <big>\(A\subseteq M </ | + | Uvažme množinu <big>\(A\subseteq M \)</big> těch posloupností, které na každé pozici mají 2 nebo -2. |
| - | Metrický prostor <big>\(M</ | + | Metrický prostor <big>\(M\)</big> není [[Omezená množina|omezený]] (ačkoli obsahuje pouze omezené posloupnosti). Množina <big>\(A\)</big> je omezená, ale nikoli totálně omezená. Omezenost plyne z toho, že každý prvek <big>\(A\)</big> má od posloupnosti samých nul vzdálenost nejvýše 2. Kdyby byl totálně omezený, pak by pro <big>\(\epsilon =1 \,\! \)</big> existovala konečná <big>\(\epsilon\)</big>-síť <big>\(S\)</big>, jejíž prvky můžeme označit <big>\( S(1), S(2), \dots S(m)\,\! \)</big>, kde <big>\(m\)</big> je počet jejích prvků. |
| - | Pak by bylo možné definovat posloupnost <big>\( c_n\,\! </ | + | Pak by bylo možné definovat posloupnost <big>\( c_n\,\! \)</big>, definovanou takto: |
| - | * <big>\(c_i = -2 \,\!</ | + | * <big>\(c_i = -2 \,\!\)</big>, pokud <big>\(i \le m \,\!\)</big> a <big>\(S(i)_i\ge 0 \,\!\)</big> |
| - | * <big>\(c_i = \,2 \,\!</ | + | * <big>\(c_i = \,2 \,\!\)</big>, pokud <big>\(i \le m \,\!\)</big> a <big>\(S(i)_i<0 \,\!\)</big> |
| - | * <big>\(c_i = 0 \,\!</ | + | * <big>\(c_i = 0 \,\!\)</big>, pokud <big>\(i>m \,\!\)</big> |
| - | Symbol <big>\(S(i)_i</ | + | Symbol <big>\(S(i)_i\)</big> značí <big>\(i\)</big>-tý prvek <big>\(i\)</big>-té posloupnosti v množině <big>\(S\)</big>. Myšlenka důkazu je v tom, že posloupnost <big>\(c_n\)</big> se musí "dostatečně lišit" od každé posloupnosti <big>\( S(i)\,\! \)</big>, čehož dosáhneme tak, že pro každé <big>\(i\)</big> vhodnou volbou <big>\(c_i\)</big> zajistíme dostatečnou odlišnost od posloupnosti <big>\(S(i)\)</big> |
| - | Z předpokladu totální omezenosti vyplývá, že nějaký prvek <big>\(S(j)</ | + | Z předpokladu totální omezenosti vyplývá, že nějaký prvek <big>\(S(j)\)</big> má od posloupnosti <big>\( c_n\,\! \)</big> vzdálenost menší, než 1. Z definice <big>\( c_n\,\! \)</big> však plyne, že číslo <big>\(S(j)_j\)</big> je od čísla <big>\(c_j\)</big> vzdálené nejméně 2, takže i vzdálenost těchto posloupností (což je supremum vzdáleností na jednotlivých položkách) musí být nejméně 2, což je [[Důkaz sporem|spor]]. |
== Související články == | == Související články == | ||
Aktuální verze z 14. 8. 2022, 14:53
| Tento článek potřebuje úpravy. Můžete Multimediaexpo.cz pomoci tím, že ho vylepšíte. Jak by měly články vypadat, popisují stránky Vzhled a styl a Encyklopedický styl. |
|
Nejobecnější definice Totálně omezeného metrického prostoru je:
podmnožina S prostoru X je totálně omezená tehdy a pouze tehdy, pokud pro danou velikost E existuje:
- přirozené číslo n a soubor \(A_1, A_2, A_3,... A_n\) podmnožin množiny X, takový, že
- S je podmnožinou sjednocení těchto podmnožin (jinak řečeno, tento soubor podmnožin je konečné pokrytí množiny S) a
- každá podmnožina Ai má velikost E (nebo menší).
- \( \forall_{E}\; \exists_{n \in \mathbb{N}}\; \exists_{ A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{n} \subseteq X}\left ( S \subseteq \bigcup_{i=1}^{n} A_{i} \; \mbox{a zaroven}\; \forall_{i = 1, \ldots, n}\; \mathrm{velikost}(A_{i}) \leq E \right ). \! \)
Uvažujeme-li P=X, pak je prostor X totálně omezený tehdy a jen tehdy, je li P totálně omezená množina.
Porovnání s omezenou množinou
- Totální omezenost je silnější vlastnost, než omezenost.
Ukážeme to na příkladu. Uvažme prostor \(M \) všech omezených posloupností reálných čísel, kde metrika přiřadí dvojici posloupností \( a_i,\, b_i \,\! \) supremum z absolutní hodnoty jejich rozdílu přes všechny položky, tedy supremum z čísel \( \left|a_1-b_1\right | ,\, \left|a_2-b_2\right | \dots \,\! \).
Uvažme množinu \(A\subseteq M \) těch posloupností, které na každé pozici mají 2 nebo -2.
Metrický prostor \(M\) není omezený (ačkoli obsahuje pouze omezené posloupnosti). Množina \(A\) je omezená, ale nikoli totálně omezená. Omezenost plyne z toho, že každý prvek \(A\) má od posloupnosti samých nul vzdálenost nejvýše 2. Kdyby byl totálně omezený, pak by pro \(\epsilon =1 \,\! \) existovala konečná \(\epsilon\)-síť \(S\), jejíž prvky můžeme označit \( S(1), S(2), \dots S(m)\,\! \), kde \(m\) je počet jejích prvků.
Pak by bylo možné definovat posloupnost \( c_n\,\! \), definovanou takto:
- \(c_i = -2 \,\!\), pokud \(i \le m \,\!\) a \(S(i)_i\ge 0 \,\!\)
- \(c_i = \,2 \,\!\), pokud \(i \le m \,\!\) a \(S(i)_i<0 \,\!\)
- \(c_i = 0 \,\!\), pokud \(i>m \,\!\)
Symbol \(S(i)_i\) značí \(i\)-tý prvek \(i\)-té posloupnosti v množině \(S\). Myšlenka důkazu je v tom, že posloupnost \(c_n\) se musí "dostatečně lišit" od každé posloupnosti \( S(i)\,\! \), čehož dosáhneme tak, že pro každé \(i\) vhodnou volbou \(c_i\) zajistíme dostatečnou odlišnost od posloupnosti \(S(i)\)
Z předpokladu totální omezenosti vyplývá, že nějaký prvek \(S(j)\) má od posloupnosti \( c_n\,\! \) vzdálenost menší, než 1. Z definice \( c_n\,\! \) však plyne, že číslo \(S(j)_j\) je od čísla \(c_j\) vzdálené nejméně 2, takže i vzdálenost těchto posloupností (což je supremum vzdáleností na jednotlivých položkách) musí být nejméně 2, což je spor.
Související články
| Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010 |
|---|
| Informace o článku.
Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. |