Protiřetězec

Z Multimediaexpo.cz

(Rozdíly mezi verzemi)
m (1 revizi)
(+ Aktualizace)
 
Řádka 1: Řádka 1:
-
{{Wikipedia-cs|Protiřetězec|700}}
+
'''Protiřetězec''' (někdy také označovaný jako '''antiřetězec''') je [[matematika|matematický]] termín z oboru [[algebra|algebry]] a [[teorie uspořádání]], který se používá pro označení množin vzájemně neporovnatelných prvků.
-
 
+
 
 +
== Definice ==
 +
Předpokládejme, že množina <big>\( X \,\! \)</big> je [[uspořádaná množina|uspořádána]] [[binární relace|relací]] <big>\( R \,\! \)</big>.
 +
O [[podmnožina|podmnožině]] <big>\( Y \subseteq X \,\! \)</big> řekneme, že se jedná o '''protiřetězec''', pokud jsou každé dva různé prvky <big>\( a,b \in Y \,\! \)</big> neporovnatelné pomocí <big>\( R \,\! \)</big>,<br />tj. <big>\( (\forall a,b \in Y)( a \leq_R b \implies a = b) \,\! \)</big>
 +
 
 +
== Příklady ==
 +
=== Protiřetězce v lineárním uspořádání ===
 +
V [[lineární uspořádání|lineárně uspořádané]] množině nemá pojem '''protiřetězec''' příliš dobrý smysl – každé dva prvky jsou porovnatelné a neexistují jiné než (nepříliš zajímavé) jednoprvkové protiřetězce.
 +
To se týká například běžného uspořádání [[reálné číslo|reálných čísel]] nebo [[přirozené číslo|přirozených čísel]] podle velikosti.
 +
 
 +
=== Protiřetězce v množině komplexních čísel ===
 +
Uvažujme [[ostré]] uspořádání <big>\( R \,\! \)</big> množiny [[komplexní číslo|komplexních čísel]] podle vzdálenosti od nuly (tj. podle [[Absolutní hodnota|absolutní hodnoty]]). Kdo by měl problém s pojmem komplexního čísla, může si představit geometrickou rovinu a vzdálenost bodů (uspořádaných dvojic) od [[Počátek souřadnic|počátku souřadnic]] (tj. od bodu [0,0]):<br />
 +
<big>\( c_1 <_R c_2 \Leftrightarrow |c_1| < |c_2| \,\! \)</big>
 +
 
 +
Položme si otázku, jaké největší protiřetězce zde existují. Každé dva body, které mají stejnou vzdálenost od nuly (leží na stejné kružnici se středem v nule) jsou neporovnatelné a mohou tedy spolu náležet do protiřetězce. Jakmile ale nějaké dva body leží na dvou různých kružnicích se středem v 0, mají různou absolutní hodnotu a jsou porovnatelné – nemohou být spolu v jednom protiřetězci.
 +
 
 +
Největší možné protiřetězce při tomto uspořádání komplexních čísel jsou tedy soustředné [[kružnice]] se středem v bodě 0.
 +
 
 +
=== Protiřetězce vzhledem k dělitelnosti ===
 +
Uvažujme o množině všech kladných [[přirozené číslo|přirozených čísel]], s uspořádáním podle [[dělitelnost]]i (tj. <big>\( a \leq_| b \,\! \)</big>, pokud <big>\( a \,\! \)</big> dělí <big>\( b \,\! \)</big>).
 +
 
 +
Při tomto uspořádání existují v množině přirozených čísel libovolně velké (co do počtu prvků) protiřetězce. Příkladem [[nekonečná množina|nekonečného]] protiřetězce je množina všech [[prvočíslo|prvočísel]]. Tento protiřetězec je přitom největší možný – jakékoliv kladné přirozené číslo je porovnatelné s nějakým prvočíslem, takže ho nelze k tomuto protiřetězci přidat, aniž by přestal být protiřetězcem.
 +
 
 +
Existuje zde ale i jeden největší možný protiřetězec, který je pouze jednoprvkový – je to množina <big>\( \{ 1 \} \,\! \)</big>. Důvod je ten, že číslo 1 je porovnatelné s každým přirozeným číslem (dělí každé přirozené číslo).
 +
 
 +
== Související články ==
 +
* [[Hasseův diagram]]
 +
* [[Dobře uspořádaná množina]]
 +
* [[Lineární uspořádání]]
 +
== Externí odkazy ==
 +
 
 +
 
 +
{{Článek z Wikipedie}}
[[Kategorie:Algebraické struktury]]
[[Kategorie:Algebraické struktury]]
[[Kategorie:Teorie uspořádání]]
[[Kategorie:Teorie uspořádání]]

Aktuální verze z 14. 4. 2024, 17:37

Protiřetězec (někdy také označovaný jako antiřetězec) je matematický termín z oboru algebry a teorie uspořádání, který se používá pro označení množin vzájemně neporovnatelných prvků.

Obsah

Definice

Předpokládejme, že množina \( X \,\! \) je uspořádána relací \( R \,\! \). O podmnožině \( Y \subseteq X \,\! \) řekneme, že se jedná o protiřetězec, pokud jsou každé dva různé prvky \( a,b \in Y \,\! \) neporovnatelné pomocí \( R \,\! \),
tj. \( (\forall a,b \in Y)( a \leq_R b \implies a = b) \,\! \)

Příklady

Protiřetězce v lineárním uspořádání

V lineárně uspořádané množině nemá pojem protiřetězec příliš dobrý smysl – každé dva prvky jsou porovnatelné a neexistují jiné než (nepříliš zajímavé) jednoprvkové protiřetězce. To se týká například běžného uspořádání reálných čísel nebo přirozených čísel podle velikosti.

Protiřetězce v množině komplexních čísel

Uvažujme ostré uspořádání \( R \,\! \) množiny komplexních čísel podle vzdálenosti od nuly (tj. podle absolutní hodnoty). Kdo by měl problém s pojmem komplexního čísla, může si představit geometrickou rovinu a vzdálenost bodů (uspořádaných dvojic) od počátku souřadnic (tj. od bodu [0,0]):
\( c_1 <_R c_2 \Leftrightarrow |c_1| < |c_2| \,\! \)

Položme si otázku, jaké největší protiřetězce zde existují. Každé dva body, které mají stejnou vzdálenost od nuly (leží na stejné kružnici se středem v nule) jsou neporovnatelné a mohou tedy spolu náležet do protiřetězce. Jakmile ale nějaké dva body leží na dvou různých kružnicích se středem v 0, mají různou absolutní hodnotu a jsou porovnatelné – nemohou být spolu v jednom protiřetězci.

Největší možné protiřetězce při tomto uspořádání komplexních čísel jsou tedy soustředné kružnice se středem v bodě 0.

Protiřetězce vzhledem k dělitelnosti

Uvažujme o množině všech kladných přirozených čísel, s uspořádáním podle dělitelnosti (tj. \( a \leq_| b \,\! \), pokud \( a \,\! \) dělí \( b \,\! \)).

Při tomto uspořádání existují v množině přirozených čísel libovolně velké (co do počtu prvků) protiřetězce. Příkladem nekonečného protiřetězce je množina všech prvočísel. Tento protiřetězec je přitom největší možný – jakékoliv kladné přirozené číslo je porovnatelné s nějakým prvočíslem, takže ho nelze k tomuto protiřetězci přidat, aniž by přestal být protiřetězcem.

Existuje zde ale i jeden největší možný protiřetězec, který je pouze jednoprvkový – je to množina \( \{ 1 \} \,\! \). Důvod je ten, že číslo 1 je porovnatelné s každým přirozeným číslem (dělí každé přirozené číslo).

Související články

Externí odkazy

Citováno z „http://ww.multimediaexpo.cz/mmecz/index.php/Proti%C5%99et%C4%9Bzec“