Vážení zákazníci a čtenáři – od 28. prosince do 2. ledna máme zavřeno.
Přejeme Vám krásné svátky a 52 týdnů pohody a štěstí v roce 2025 !

Binomická rovnice

Z Multimediaexpo.cz

(Rozdíly mezi verzemi)
m (1 revizi)
(+ Výrazné vylepšení)
Řádka 1: Řádka 1:
-
{{Wikipedia-cs|Binomická rovnice|700}}
+
'''Binomickou rovnicí''' nazýváme rovnici ve tvaru <math>x^n-a=0</math> s komplexní neznámou ''x'', číslo ''a'' je také [[komplexní číslo]]. [[Exponent]] neznámé ''x'' je [[přirozené číslo]]. Jde o typ rovnic, které se řeší na Gaussově rovině komplexních čísel, tedy i řešením jsou komplexní čísla.
 +
==Řešení binomické rovnice==
 +
Řešení binomické rovnice lze najít zkoumáním [[Komplexní číslo|goniometrického tvaru komplexního čísla]]. Mějme rovnici v základním tvaru, přičemž obě strany lze přepsat jako komplexní čísla v goniometrické tvaru
 +
<br />
 +
<math>\left|x^n\right|\left(\cos n\varphi+\text{i}\sin n\varphi\right)=|a|\left(\cos\omega+\text{i}\sin\omega\right)\,;\; x,a\in\mathbb{C},n\in\mathbb{N}</math>
 +
 +
Úhel <math>\omega</math> komplexní číslo <math>a</math> s kladnou osou x. Odtud lze porovnáváním stran odvodit řešení. Porovnáním absolutních hodnot je [[absolutní hodnota]] neznámé <math>x</math><br />
 +
 +
<math>|x|=\sqrt[n]{|a|}</math>
 +
 +
Porovnáním úhlů a odvozením řešení je
 +
 +
<br />
 +
<math>\begin{array}{rcl}\cos n\varphi&=&\cos\omega\\n\varphi&=&\omega+2k\pi\\\varphi&=&\dfrac{\omega+2k\pi}{n}\end{array}</math>
 +
 +
===Diskuse===
 +
 +
V tomto kroku je zapotřebí rozebrat diskusi vzhledem k úhlu <math>\omega</math>. Pokud je číslo <math>a</math> kladné [[Reálné číslo|reálné]], poté uvažujeme úhel <math>\omega=0</math>. Naopak, když je <math>a</math> reálné záporné, uvažujeme úhel <math>\omega=\pi</math>. Pokud uvažujeme, že <math>a</math> má svoji reálnou i imaginární složku, tedy je komplexní, úhel se nedá obecně vyjádřit. Po této diskusi lze psát řešení:
 +
 +
===Řešení===
 +
Binomická rovnice má celkem <math>n</math> řešení. Při jejich hledání se za koeficient <math>k</math> dosazují postupně hodnoty množiny <math>\{0;1;\cdots;n-1\}</math>. Tato řešení vytvoří v komplexní rovině jakési vrcholy pravidelného <math>n</math>-úhelníka. Samotné řešení je <br />
 +
 +
''1. možnost <math>\omega=0</math>''<br />
 +
 +
<math>x_{1,2,\cdots,n}=\sqrt[n]{|a|}\left[\cos\left(\frac{2k\pi}{n}\right)+\text{i}\sin\left(\frac{2k\pi}{n}\right)\right]</math>
 +
 +
''2. možnost <math>\omega=\pi</math>''<br />
 +
 +
<math>x_{1,2,\cdots,n}=\sqrt[n]{|a|}\left[\cos\left(\frac{2k\pi+\pi}{n}\right)+\text{i}\sin\left(\frac{2k\pi+\pi}{n}\right)\right]</math>
 +
 +
''3. možnost neurčitého <math>\omega</math> a komplexního <math>a</math>''<br />
 +
 +
<math>x_{1,2,\cdots,n}=\sqrt[n]{|a|}\left[\cos\left(\frac{2k\pi+\omega}{n}\right)+\text{i}\sin\left(\frac{2k\pi+\omega}{n}\right)\right]</math>
 +
 +
 +
{{Článek z Wikipedie}}
[[Kategorie:Matematika]]
[[Kategorie:Matematika]]
[[Kategorie:Rovnice]]
[[Kategorie:Rovnice]]

Verze z 19. 2. 2014, 09:54

Binomickou rovnicí nazýváme rovnici ve tvaru <math>x^n-a=0</math> s komplexní neznámou x, číslo a je také komplexní číslo. Exponent neznámé x je přirozené číslo. Jde o typ rovnic, které se řeší na Gaussově rovině komplexních čísel, tedy i řešením jsou komplexní čísla.

Řešení binomické rovnice

Řešení binomické rovnice lze najít zkoumáním goniometrického tvaru komplexního čísla. Mějme rovnici v základním tvaru, přičemž obě strany lze přepsat jako komplexní čísla v goniometrické tvaru
<math>\left|x^n\right|\left(\cos n\varphi+\text{i}\sin n\varphi\right)=|a|\left(\cos\omega+\text{i}\sin\omega\right)\,;\; x,a\in\mathbb{C},n\in\mathbb{N}</math>

Úhel <math>\omega</math> komplexní číslo <math>a</math> s kladnou osou x. Odtud lze porovnáváním stran odvodit řešení. Porovnáním absolutních hodnot je absolutní hodnota neznámé <math>x</math>

<math>|x|=\sqrt[n]{|a|}</math>

Porovnáním úhlů a odvozením řešení je


<math>\begin{array}{rcl}\cos n\varphi&=&\cos\omega\\n\varphi&=&\omega+2k\pi\\\varphi&=&\dfrac{\omega+2k\pi}{n}\end{array}</math>

Diskuse

V tomto kroku je zapotřebí rozebrat diskusi vzhledem k úhlu <math>\omega</math>. Pokud je číslo <math>a</math> kladné reálné, poté uvažujeme úhel <math>\omega=0</math>. Naopak, když je <math>a</math> reálné záporné, uvažujeme úhel <math>\omega=\pi</math>. Pokud uvažujeme, že <math>a</math> má svoji reálnou i imaginární složku, tedy je komplexní, úhel se nedá obecně vyjádřit. Po této diskusi lze psát řešení:

Řešení

Binomická rovnice má celkem <math>n</math> řešení. Při jejich hledání se za koeficient <math>k</math> dosazují postupně hodnoty množiny <math>\{0;1;\cdots;n-1\}</math>. Tato řešení vytvoří v komplexní rovině jakési vrcholy pravidelného <math>n</math>-úhelníka. Samotné řešení je

1. možnost <math>\omega=0</math>

<math>x_{1,2,\cdots,n}=\sqrt[n]{|a|}\left[\cos\left(\frac{2k\pi}{n}\right)+\text{i}\sin\left(\frac{2k\pi}{n}\right)\right]</math>

2. možnost <math>\omega=\pi</math>

<math>x_{1,2,\cdots,n}=\sqrt[n]{|a|}\left[\cos\left(\frac{2k\pi+\pi}{n}\right)+\text{i}\sin\left(\frac{2k\pi+\pi}{n}\right)\right]</math>

3. možnost neurčitého <math>\omega</math> a komplexního <math>a</math>

<math>x_{1,2,\cdots,n}=\sqrt[n]{|a|}\left[\cos\left(\frac{2k\pi+\omega}{n}\right)+\text{i}\sin\left(\frac{2k\pi+\omega}{n}\right)\right]</math>


Citováno z „http://ww.multimediaexpo.cz/mmecz/index.php/Binomick%C3%A1_rovnice“