Věta o kritické přímce

Z Multimediaexpo.cz

(Rozdíly mezi verzemi)
m (1 revizi)
(+ Výrazné vylepšení)
Řádka 1: Řádka 1:
-
{{Wikipedia-cs|Věta o kritické přímce|700}}
+
'''Věta o kritické přímce''' je [[matematická věta]] tvrdící, že jisté nenulové procento netriviálních nul [[Riemannova zeta funkce|Riemannovy zeta funkce]] leží na [[kritická přímka|kritické přímce]] ''Re(s) = 1/2''.
 +
== Základní pojmy ==
 +
{{Podrobně|Riemannova funkce zeta|Riemannova hypotéza}}
 +
[[Riemannova zeta-funkce]] vznikne [[holomorfní funkce|holomorfním]] rozšířením [[funkce (matematika)|funkce]] <math>\zeta(s) =
 +
\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s}</math> na celou [[komplexní rovina|komplexní rovinu]] s výjimkou bodu ''s = 1''. Takto definovaná funkce nabývá nulové hodnoty v každém záporném [[Sudá a lichá čísla|sudém čísle]]. Tato čísla se nazývají ''triviální nuly'' Riemannovy zeta-funkce. Ostatní body, v nichž je funkce nulová, se nazývají ''netriviální nuly''. Podle [[Riemannova hypotéza|Riemannovy hypotézy]] mají všechny netriviální nuly zeta-funkce [[reálná část komplexního čísla|reálnou část]] rovnou 1/2, tj. leží na přímce {''s | Re(s) = 1/2''} v komplexní rovině. Tato přímka se nazývá ''kritická přímka''.
 +
 +
== Historie ==
 +
První verzi věty o kritické přímce (pro jisté malé procento) dokázal [[Atle Selberg]], čímž značně vylepšil do té doby nejsilnější známý výsledek [[Godfrey Harold Hardy|Hardyho]] a [[John Edensor Littlewood|Littlewooda]], podle kterých leží na kritické přímce nekonečně mnoho netriviálních nul.
 +
 +
[[Norman Levinson]] vylepšil odhad ve větě na jednu třetinu nul,<ref>Levinson, N.,  ''More than one-third of the zeros of Riemann's zeta function are on σ = 1/2'', Adv. in Math. 13 (1974), 383-436</ref> a [[Conrey]] na dvě pětiny.<ref>Conrey, J. B., ''More than two fifths of the zeros of the Riemann zeta function are on the critical line'', J. reine angew. Math. 399 (1989), 1-16</ref>
 +
 +
== Vztah k Riemannově hypotéze ==
 +
{{Viz též|Riemannova hypotéza}}
 +
Větu o kritické přímce lze považovat za částečné (slabé) řešení [[Riemannova hypotéza|Riemannovy hypotézy]]. Důsledkem [[Riemannova hypotéza|Riemannovy hypotézy]] je, že skutečná hodnota se rovná 1. Ovšem opačná implikace neplatí – tvrzení, že skoro všechny netriviální nuly leží na kritické přímce pro důkaz Riemannovy hypotézy, nestačí.
 +
 +
== Reference ==
 +
<references/>
 +
== Externí odkazy ==
 +
* {{MathWorld|id=RiemannHypothesis}}
 +
 +
 +
{{Článek z Wikipedie}}
[[Kategorie:Matematické věty a důkazy]]
[[Kategorie:Matematické věty a důkazy]]
[[Kategorie:Komplexní analýza]]
[[Kategorie:Komplexní analýza]]
[[Kategorie:Teorie čísel]]
[[Kategorie:Teorie čísel]]

Verze z 1. 3. 2014, 20:33

Věta o kritické přímce je matematická věta tvrdící, že jisté nenulové procento netriviálních nul Riemannovy zeta funkce leží na kritické přímce Re(s) = 1/2.

Obsah

Základní pojmy

Podrobnější informace naleznete na stránce: Riemannova funkce zeta

Riemannova zeta-funkce vznikne holomorfním rozšířením funkce <math>\zeta(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s}</math> na celou komplexní rovinu s výjimkou bodu s = 1. Takto definovaná funkce nabývá nulové hodnoty v každém záporném sudém čísle. Tato čísla se nazývají triviální nuly Riemannovy zeta-funkce. Ostatní body, v nichž je funkce nulová, se nazývají netriviální nuly. Podle Riemannovy hypotézy mají všechny netriviální nuly zeta-funkce reálnou část rovnou 1/2, tj. leží na přímce {s | Re(s) = 1/2} v komplexní rovině. Tato přímka se nazývá kritická přímka.

Historie

První verzi věty o kritické přímce (pro jisté malé procento) dokázal Atle Selberg, čímž značně vylepšil do té doby nejsilnější známý výsledek Hardyho a Littlewooda, podle kterých leží na kritické přímce nekonečně mnoho netriviálních nul.

Norman Levinson vylepšil odhad ve větě na jednu třetinu nul,[1] a Conrey na dvě pětiny.[2]

Vztah k Riemannově hypotéze

Větu o kritické přímce lze považovat za částečné (slabé) řešení Riemannovy hypotézy. Důsledkem Riemannovy hypotézy je, že skutečná hodnota se rovná 1. Ovšem opačná implikace neplatí – tvrzení, že skoro všechny netriviální nuly leží na kritické přímce pro důkaz Riemannovy hypotézy, nestačí.

Reference

  1. ↑ Levinson, N., More than one-third of the zeros of Riemann's zeta function are on σ = 1/2, Adv. in Math. 13 (1974), 383-436
  2. ↑ Conrey, J. B., More than two fifths of the zeros of the Riemann zeta function are on the critical line, J. reine angew. Math. 399 (1989), 1-16

Externí odkazy


Citováno z „http://ww.multimediaexpo.cz/mmecz/index.php/V%C4%9Bta_o_kritick%C3%A9_p%C5%99%C3%ADmce“