Věta o kritické přímce

Z Multimediaexpo.cz

Věta o kritické přímce je matematická věta tvrdící, že jisté nenulové procento netriviálních nul Riemannovy zeta funkce leží na kritické přímce Re(s) = 1/2.

Obsah

Základní pojmy

Podrobnější informace naleznete na stránce: Riemannova funkce zeta

Riemannova zeta-funkce vznikne holomorfním rozšířením funkce <math>\zeta(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s}</math> na celou komplexní rovinu s výjimkou bodu s = 1. Takto definovaná funkce nabývá nulové hodnoty v každém záporném sudém čísle. Tato čísla se nazývají triviální nuly Riemannovy zeta-funkce. Ostatní body, v nichž je funkce nulová, se nazývají netriviální nuly. Podle Riemannovy hypotézy mají všechny netriviální nuly zeta-funkce reálnou část rovnou 1/2, tj. leží na přímce {s | Re(s) = 1/2} v komplexní rovině. Tato přímka se nazývá kritická přímka.

Historie

První verzi věty o kritické přímce (pro jisté malé procento) dokázal Atle Selberg, čímž značně vylepšil do té doby nejsilnější známý výsledek Hardyho a Littlewooda, podle kterých leží na kritické přímce nekonečně mnoho netriviálních nul.

Norman Levinson vylepšil odhad ve větě na jednu třetinu nul,[1] a Conrey na dvě pětiny.[2]

Vztah k Riemannově hypotéze

Větu o kritické přímce lze považovat za částečné (slabé) řešení Riemannovy hypotézy. Důsledkem Riemannovy hypotézy je, že skutečná hodnota se rovná 1. Ovšem opačná implikace neplatí – tvrzení, že skoro všechny netriviální nuly leží na kritické přímce pro důkaz Riemannovy hypotézy, nestačí.

Reference

  1. ↑ Levinson, N., More than one-third of the zeros of Riemann's zeta function are on σ = 1/2, Adv. in Math. 13 (1974), 383-436
  2. ↑ Conrey, J. B., More than two fifths of the zeros of the Riemann zeta function are on the critical line, J. reine angew. Math. 399 (1989), 1-16

Externí odkazy


Citováno z „http://ww.multimediaexpo.cz/mmecz/index.php/V%C4%9Bta_o_kritick%C3%A9_p%C5%99%C3%ADmce“