Binomická rovnice

Z Multimediaexpo.cz

Binomickou rovnicí nazýváme rovnici ve tvaru \(x^n-a=0\) s komplexní neznámou x, číslo a je také komplexní číslo. Exponent neznámé x je přirozené číslo. Jde o typ rovnic, které se řeší na Gaussově rovině komplexních čísel, tedy i řešením jsou komplexní čísla.

Řešení binomické rovnice

Řešení binomické rovnice lze najít zkoumáním goniometrického tvaru komplexního čísla. Mějme rovnici v základním tvaru, přičemž obě strany lze přepsat jako komplexní čísla v goniometrické tvaru
\(\left|x^n\right|\left(\cos n\varphi+\text{i}\sin n\varphi\right)=|a|\left(\cos\omega+\text{i}\sin\omega\right)\,;\; x,a\in\mathbb{C},n\in\mathbb{N}\)

Úhel \(\omega\) komplexní číslo \(a\) s kladnou osou x. Odtud lze porovnáváním stran odvodit řešení. Porovnáním absolutních hodnot je absolutní hodnota neznámé \(x\)

\(|x|=\sqrt[n]{|a|}\)

Porovnáním úhlů a odvozením řešení je

\(\begin{array}{rcl}\cos n\varphi&=&\cos\omega\\n\varphi&=&\omega+2k\pi\\\varphi&=&\dfrac{\omega+2k\pi}{n}\end{array}\)

Diskuse

V tomto kroku je zapotřebí rozebrat diskusi vzhledem k úhlu \(\omega\). Pokud je číslo \(a\) kladné reálné, poté uvažujeme úhel \(\omega=0\). Naopak, když je \(a\) reálné záporné, uvažujeme úhel \(\omega=\pi\). Pokud uvažujeme, že \(a\) má svoji reálnou i imaginární složku, tedy je komplexní, úhel se nedá obecně vyjádřit. Po této diskusi lze psát řešení:

Řešení

Binomická rovnice má celkem \(n\) řešení. Při jejich hledání se za koeficient \(k\) dosazují postupně hodnoty množiny \(\{0;1;\cdots;n-1\}\). Tato řešení vytvoří v komplexní rovině jakési vrcholy pravidelného \(n\)-úhelníka. Samotné řešení je

1. možnost \(\omega=0\)

\(x_{1,2,\cdots,n}=\sqrt[n]{|a|}\left[\cos\left(\frac{2k\pi}{n}\right)+\text{i}\sin\left(\frac{2k\pi}{n}\right)\right]\)

2. možnost \(\omega=\pi\)

\(x_{1,2,\cdots,n}=\sqrt[n]{|a|}\left[\cos\left(\frac{2k\pi+\pi}{n}\right)+\text{i}\sin\left(\frac{2k\pi+\pi}{n}\right)\right]\)

3. možnost neurčitého \(\omega\) a komplexního \(a\)

\(x_{1,2,\cdots,n}=\sqrt[n]{|a|}\left[\cos\left(\frac{2k\pi+\omega}{n}\right)+\text{i}\sin\left(\frac{2k\pi+\omega}{n}\right)\right]\)

Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010
Informace o článku. Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. Tento text je dostupný za podmínek Creative Commons 3.0 Unported – creativecommons.org. Originální článek na české Wikipedii