Kosinová věta

Z Multimediaexpo.cz

Broom icon.png Tento článek potřebuje úpravy. Můžete Multimediaexpo.cz pomoci tím, že ho vylepšíte.
Jak by měly články vypadat, popisují stránky Vzhled a styl a Encyklopedický styl. 		Broom icon.png
Trojúhelník ABC

V trigonometrii je kosinová věta tvrzení o rovinných trojúhelnících, které umožňuje spočítat úhel v trojúhelníku na základě znalosti všech jeho tří stran.

Pro každý trojúhelník ABC s vnitřními úhly α, β, γ a stranami a, b, c platí:

<math>a^2 = b^2 + c^2 - 2 b c \cdot \cos \alpha</math>
<math>b^2 = c^2 + a^2 - 2 c a \cdot \cos \beta</math>
<math>c^2 = a^2 + b^2 - 2 a b \cdot \cos \gamma</math>

Speciálním případem kosinové věty je Pythagorova věta: pokud je úhel γ pravý, pak <math>\cos \gamma = 0</math> a tudíž <math>c^2 = a^2 + b^2</math>.

Větu lze mimo jiné použít v případě, že máme dány dvě strany trojúhelníku, úhel, který svírají, a chceme zjistit délku zbývající strany.

Důkaz

Důkaz vzorce pro zjištění strany a trojúhelníku ABC je vhodné rozdělit podle velikosti daného úhlu α (ostrý, pravý a tupý).

  • Je-li α ostrý a bod P patou výšky vc, pak bod P náleží straně c (pokud ne, prohodíme označení bodů B a C). Vzdálenost paty P od bodu A označíme u. Pak podle Pythagorovy věty je
<math>a^2 = v_c^2 + (c-u)^2</math>.
Protože dále platí, že <math>u = b \cos \alpha</math> a <math>v_c = b \sin \alpha</math>, lze psát
<math>a^2 = (b \cdot \sin \alpha)^2 + (c - b \cdot \cos \alpha)^2</math>
<math>a^2 = b^2 \cdot \sin^2 \alpha + c^2 - 2bc \cdot \cos \alpha + b^2 \cdot \cos^2 \alpha</math>
<math>a^2 = b^2 (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) + c^2 - 2bc \cdot \cos \alpha</math>
<math>a^2 = b^2 + c^2 - 2 b c \cdot \cos \alpha</math>
  • Je-li α pravý, pak podle pythagorovy věty je
<math> \ a^2 = b^2 + c^2</math>.
Protože je α = π/2, je <math>\cos \alpha = 0</math>, a pak
<math>a^2 = b^2 + c^2 = b^2 + c^2 - 2 b c \cdot \cos \alpha</math>
  • Je-li α tupý a bod P patou výšky vc, pak bod P leží mimo c. Vzdálenost paty P od bodu A označíme u. Pak podle Pythagorovy věty je
<math>a^2 = v_c^2 + (c+u)^2</math>
Protože dále platí, že <math>u = b \cos (\pi - \alpha)</math> a <math>v_c = b \sin (\pi - \alpha)</math> a dále <math>\cos (\pi - \alpha) = -\cos \alpha</math> a <math>\sin (\pi - \alpha) = \sin \alpha</math> lze psát
<math>a^2 = (b \cdot \sin \alpha)^2 + (- b \cdot \cos \alpha + c)^2</math>
Což je totéž, jako v případě, že je úhel α ostrý a tedy
<math>a^2 = b^2 + c^2 - 2 b c \cdot \cos \alpha</math>

Související články


Citováno z „http://ww.multimediaexpo.cz/mmecz/index.php/Kosinov%C3%A1_v%C4%9Bta“