Přirozené číslo

pro nezáporná čísla, tzn. čísla včetně nuly.

Formální definice

Exaktní matematické definice množiny přirozených čísel jsou založeny na následujících axiomech (tzv. Peanova aritmetika):

• Existuje číslo 0.
• Každé přirozené číslo a má následníka, označeného jako S(a).
• Neexistuje přirozené číslo, jehož následníkem by byla 0.
• Různá přirozená čísla mají různé následníky: pokud a ≠ b, pak S(a) ≠ S(b).
• Pokud nějakou vlastnost splňuje jak číslo 0, tak i každé číslo, které je následníkem nějakého čísla, které tuto vlastnost splňuje, pak tuto vlastnost splňují všechna přirozená čísla. (Tento axiom zajišťuje platnost důkazů technikou matematické indukce.)

(Poznámka: Číslo 0 v těchto postulátech nemusí odpovídat běžnému výkladu přirozeného čísla nula. 0 v této formální definici znamená pouze nějaký objekt, který spolu s funkcí následnosti splňuje Peanovy axiomy.)

Konstrukce

Nejběžnější konstrukcí přirozených čísel v teorii množin je následující postup:

• Definujeme 0 = {}.
• Definujeme S(a) = a ∪ {a} pro všechna a.
• Množinu přirozených čísel pak definujeme jako průnik všech množin obsahujících 0 a uzavřených vůči funkci následnosti.

Pomocí axiomu nekonečna lze dokázat, že tato definice splňuje Peanovy axiomy. V této definici je každé přirozené číslo množinou čísel menších než ono, tedy: 0 = {}
1 = {0} = {{}}
2 = {0, 1} = {0, {0}} = {{}, {{}}}
3 = {0, 1, 2} = {0, {0}, {0, {0}}} = {{}, {{}}, {{}, {{}}}}
…atd.<> Tato definice je zcela intuitivní v tom smyslu, že každé přirozené číslo n je množinou o právě n prvcích.

Vlastnosti

• Množina přirozených čísel je nekonečná (existuje nekonečně mnoho přirozených čísel), avšak spočetná (podle definice).
• Na přirozených číslech můžeme definovat operaci sčítání takto: a + 0 = a, a + S(b) = S(a + b) pro všechna a, b. Tím se stane (N, +) komutativním monoidem s neutrálním prvkem 0. Pokud definujeme S(0) = 1, je S(a) = S(a + 0) = a + S(0) = a + 1, tzn. následníkem čísla a je číslo a + 1. Tento monoid je možné vnořit do grupy; nejmenší grupou obsahující přirozená čísla jsou celá čísla.
• Obdobně můžeme s využitím operace sčítání definovat operaci násobení takto: a * 0 = 0, a * (b + 1) = (a * b) + a. Tím se stane (N, *) komutativním monoidem s neutrálním prvkem 1. Sčítání a násobení splňují distributivní zákon: a * (b + c) = (a * b) + (a * c). (N, +, *) je tedy komutativním polookruhem.
• Na přirozených číslech lze definovat úplné uspořádání, kdy a ≤ b právě tehdy, když existuje přirozené číslo c tak, že a + c = b. Přirozená čísla jsou dobře uspořádaná, tzn. každá neprázdná množina přirozených čísel má nejmenší prvek.
• Na přirozených číslech neexistuje operace dělení, neboť podíl dvou přirozených čísel obecně nemusí být přirozené číslo. Alternativou je tady dělení se zbytkem: pro libovolná dvě přirozená čísla a, b, kde b ≠ 0, můžeme najít taková přirozená čísla r a q, že platí a = bq + r a zároveň r < b. Číslu r pak říkáme zbytek po dělení čísla a číslem b, číslo q je celočíselný podíl a a b. Tato operace je základem mnoha vlastností (dělitelnost), postupů (Euklidův algoritmus) a idejí v teorii čísel. Na existenci a vlastnostech zbytků po dělení v přirozených číslech je založena jedna část kryptografie.

Externí odkazy

• http://www.stetson.edu/~efriedma/numbers.html