Přejeme Vám krásné svátky a 52 týdnů pohody a štěstí v roce 2025 !
Totálně omezený metrický prostor
Z Multimediaexpo.cz
| Tento článek potřebuje úpravy. Můžete Multimediaexpo.cz pomoci tím, že ho vylepšíte. Jak by měly články vypadat, popisují stránky Vzhled a styl a Encyklopedický styl. |
|
Nejobecnější definice Totálně omezeného metrického prostoru je:
podmnožina S prostoru X je totálně omezená tehdy a pouze tehdy, pokud pro danou velikost E existuje:
- přirozené číslo n a soubor \(A_1, A_2, A_3,... A_n</math> podmnožin množiny X, takový, že
- S je podmnožinou sjednocení těchto podmnožin (jinak řečeno, tento soubor podmnožin je konečné pokrytí množiny S) a
- každá podmnožina Ai má velikost E (nebo menší).
- \( \forall_{E}\; \exists_{n \in \mathbb{N}}\; \exists_{ A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{n} \subseteq X}\left ( S \subseteq \bigcup_{i=1}^{n} A_{i} \; \mbox{a zaroven}\; \forall_{i = 1, \ldots, n}\; \mathrm{velikost}(A_{i}) \leq E \right ). \! </math>
Uvažujeme-li P=X, pak je prostor X totálně omezený tehdy a jen tehdy, je li P totálně omezená množina.
Porovnání s omezenou množinou
- Totální omezenost je silnější vlastnost, než omezenost.
Ukážeme to na příkladu. Uvažme prostor \(M </math> všech omezených posloupností reálných čísel, kde metrika přiřadí dvojici posloupností \( a_i,\, b_i \,\! </math> supremum z absolutní hodnoty jejich rozdílu přes všechny položky, tedy supremum z čísel \( \left|a_1-b_1\right | ,\, \left|a_2-b_2\right | \dots \,\! </math>.
Uvažme množinu \(A\subseteq M </math> těch posloupností, které na každé pozici mají 2 nebo -2.
Metrický prostor \(M</math> není omezený (ačkoli obsahuje pouze omezené posloupnosti). Množina \(A</math> je omezená, ale nikoli totálně omezená. Omezenost plyne z toho, že každý prvek \(A</math> má od posloupnosti samých nul vzdálenost nejvýše 2. Kdyby byl totálně omezený, pak by pro \(\epsilon =1 \,\! </math> existovala konečná \(\epsilon</math>-síť \(S</math>, jejíž prvky můžeme označit \( S(1), S(2), \dots S(m)\,\! </math>, kde \(m</math> je počet jejích prvků.
Pak by bylo možné definovat posloupnost \( c_n\,\! </math>, definovanou takto:
- \(c_i = -2 \,\!</math>, pokud \(i \le m \,\!</math> a \(S(i)_i\ge 0 \,\!</math>
- \(c_i = \,2 \,\!</math>, pokud \(i \le m \,\!</math> a \(S(i)_i<0 \,\!</math>
- \(c_i = 0 \,\!</math>, pokud \(i>m \,\!</math>
Symbol \(S(i)_i</math> značí \(i</math>-tý prvek \(i</math>-té posloupnosti v množině \(S</math>. Myšlenka důkazu je v tom, že posloupnost \(c_n</math> se musí "dostatečně lišit" od každé posloupnosti \( S(i)\,\! </math>, čehož dosáhneme tak, že pro každé \(i</math> vhodnou volbou \(c_i</math> zajistíme dostatečnou odlišnost od posloupnosti \(S(i)</math>
Z předpokladu totální omezenosti vyplývá, že nějaký prvek \(S(j)</math> má od posloupnosti \( c_n\,\! </math> vzdálenost menší, než 1. Z definice \( c_n\,\! </math> však plyne, že číslo \(S(j)_j</math> je od čísla \(c_j</math> vzdálené nejméně 2, takže i vzdálenost těchto posloupností (což je supremum vzdáleností na jednotlivých položkách) musí být nejméně 2, což je spor.
Související články
| Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010 |
|---|
| Informace o článku.
Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. |