Nerovnice

Z Multimediaexpo.cz

Uvažujme dvě funkce <math>L(x), P(x)</math>, které jsou definovány na nějaké množině <math>D</math>. Zápis

<math>L(x) > P(x)</math>

resp.

<math>L(x) \geq P(x)</math>

resp.

<math>L(x) < P(x)</math>

resp.

<math>L(x) \le P(x)</math>

se nazývá nerovnicí o jedné neznámé <math>x</math>. Funkce <math>L(x)</math> se nazývá levá strana nerovnice a <math>P(x)</math> se nazývá pravá strana nerovnice. Vztah obou stran nerovnice (relaci) určuje znaménko nerovnosti, které se v nerovnici vyskytuje právě jednou.

Obsah

Klasifikace řešení

Řešením nerovnice je taková množina všech <math>x \in D</math>, která splňuje výše uvedenou relaci obou stran nerovnice. V oboru reálných čísel může mít nerovnice tato řešení:

  • prázdná množina: nerovnice nemá řešení; např. <math>x^2 < 0</math>, řešení: <math>x\in\empty</math>
  • jedna nebo více diskrétních hodnot: kořen rovnice <math>L(x) = P(x)</math>; např. <math>\cos x \ge 1</math>, řešení: <math>x = 2 \pi k</math>, <math>k\in\mathbb{Z}</math>
  • interval: všechny typy intervalů; např. <math>x^2 -1 \le 0</math>, řešení: <math>x \in \lang -1, 1 \rang </math>
  • sjednocení intervalů: např. <math>4 - x^2 < 0 </math>, řešení: <math>x \in ( -\infty, -2 ) \cup ( 2, \infty)</math>

Početní postup řešení

Při hledání řešení nerovnice postupujeme obdobně jako při řešení rovnice: ekvivalentními úpravami se snažíme nerovnici převést na jednodušší tvar, z něhož jsme schopni určit řešení nerovnice.

Při řešení nerovnic se často využívá, že pro dvě čísla <math>a, b</math> platí, že pokud <math>a b > 0</math>, pak je buď <math>a > 0</math> a <math>b > 0</math> nebo <math>a < 0</math> a <math>b < 0</math>. Často se také využívá skutečnosti, že pro <math>a > b</math> platí <math>\frac{1}{a} < \frac{1}{b}</math>.

Je třeba mít na paměti, že úpravy nerovnice mají, na rozdíl od úprav rovnic, vliv také na relaci obou stran nerovnice. Např. pokud nerovnici <math>-2 x > -1</math> vynásobíme <math>-1</math>, dostaneme nerovnici <math>2 x < 1</math>, tzn. došlo ke změně > na <.

Grafické řešení

U nerovnic se často užívá grafické řešení, neboť je názorné. Známe-li totiž kořeny rovnice <math>f(x) = 0</math>, můžeme je využít při řešení nerovnice <math>f(x) > 0</math>, neboť kořeny určují krajní body intervalů, které jsou řešením nerovnice. Grafické řešení pomáhá rychle určit, které z intervalů jsou řešením a které nikoli.

Rozdělení

Podobně jako u rovnic lze také nerovnice rozdělit na algebraické a nealgebraické.

Související články


Citováno z „http://ww.multimediaexpo.cz/mmecz/index.php/Nerovnice“