Eulerův vzorec
Z Multimediaexpo.cz
Eulerův vzorec určuje vztah mezi goniometrickými funkcemi a exponenciální funkcí:
- \(e^{i \phi} = \cos \phi + i \sin \phi \,\!\)
Význam vzorce
Je zvykem na Eulerův vzorec nahlížet jako na větu Komplexní analýzy. Pro jeho pochopení je potřeba vědět, co znamená mocnění komplexním číslem.
Uvažujme nejdříve exponenciální funkci reálné proměnné:
- \(f(x) = e^{x}\)
Ze znalosti Taylorovy řady víme, že:
- \(e^{x} = \frac{x^0}{0!} + \frac{x^1}{1!} + \frac{x^2}{2!} + ...\)
Nyní si definujme exponenciální funkci komplexní proměnné tímto způsobem:
- \(e^{a + bi} = \frac{{(a + bi)}^0}{0!} + \frac{{(a + bi)}^1}{1!} + \frac{{(a + bi)}^2}{2!} + ...\)
Dosaďme za exponent ix:
- \(e^{ix} = \frac{{(ix)}^0}{0!} + \frac{{(ix)}^1}{1!} + \frac{{(ix)}^2}{2!} + \frac{{(ix)}^3}{3!} + ...\)
Nyní mírně přerovnejme sčítance
- \(e^{ix} = (\frac{{(ix)}^0}{0!} + \frac{{(ix)}^2}{2!} + ...) + (\frac{{(ix)}^1}{1!} + \frac{{(ix)}^3}{3!} + ...)\)
Ze druhé části vytkněme i:
- \(e^{ix} = (\frac{{(ix)}^0}{0!} + \frac{{(ix)}^2}{2!} + ... ) + i(\frac{x^1}{1!} + \frac{i^2x^3}{3!} + ...)\)
Teď se i vyskytuje pouze v sudých mocninách a můžeme ho umocnit:
- \(e^{ix} = (\frac{x^0}{0!} - \frac{x^2}{2!} + ... ) + i(\frac{x^1}{1!} - \frac{x^3}{3!} + ...)\)
Ze znalosti Taylorovy řady víme, že první část je rozvoj funkce kosinus a druhá část je rozvoj funkce sinus:
- \(e^{ix} = \cos(x) + i \sin(x)\)
Ukázali jsme si, že při naší definici komplexního mocnění je Eulerův vzorec pravdivé tvrzení.
| Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010 |
|---|
| Informace o článku.
Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. |