Šťastné číslo

Z Multimediaexpo.cz

Graf šťastných čísel menších než 200

Šťastné číslo (anglicky happy number) je v matematice definováno následujícím způsobem: vezme se libovolné kladné celé číslo, nahradí se součtem druhých mocnin svých číslic a tento proces se opakuje, dokud se nedojde k číslu jedna (kde se proces zastaví) nebo dokud se v posloupnosti neobjeví některé číslo dvakrát (posloupnost se zacyklí). Ta čísla, která tímto způsobem skončí jedničkou, se nazývají šťastná, ostatní pak nešťastná.

Formálněji řečeno: mějme číslo \(n=n_0\) a definujme posloupnost \(n_1\), \(n_2\), ... kde \(n_{i+1}\) je součet druhých mocnin čísel vyjádřených číslicemi čísla \(n_i\). Poté \(n\) je šťastné právě tehdy, když existuje i takové, že \(n_i = 1\).

Pokud je nějaké číslo šťastné, pak také všechny členy jemu příslušné posloupnosti jsou také šťastnými čísly.

Obsah

Příklad

Například 7 je šťastné číslo a přísluší mu tato posloupnost:

72 = 49
42 + 92 = 97
92 + 72 = 130
12 + 32 + 02 = 10
12 + 02 = 1

číslo 1663 je také šťastné číslo:

12 + 62 + 62 + 32 = 82
82 + 22 = 68
62 + 82 = 100
12 + 02 + 02 = 1

i číslo 13, obecně pokládané za nešťastné (například triskaidekafobiky), je dle této definice šťastné číslo:

12 + 32 = 10
12 + 02 = 1

Chování posloupnosti

Když \(n\) není šťastné, pak se jeho posloupnost nedostane k 1. Namísto toho se zacyklí (například pro číslo 4):

4, 16, 37, 58, 89, 145, 42, 20, 4, ...

Pokud \(n\) má \(m\) číslic, poté součet druhých mocnin jimi vyjádřených čísel může být nejvýše \(81m\) (to nastane, pokud jsou všechny číslice devítky).
Pro \(m=4\) a více je

\(n\geq10^{m-1}>81m\)

tedy každé číslo větší než 1000 se definovaným postupem zmenšuje. V číslech menších než 1000 je číslo, jehož součet druhých mocnin jeho cifer je největší, 999, které dá výsledek 3 krát 81, což je 243.

  • V rozmezí 100 až 243 největší hodnotu, a to 163, dává číslo 199.
  • V rozmezí 100 až 163 největší hodnotu, a to 107, dává číslo 159.
  • V rozmezí 100 až 107 největší hodnotu, a to 50, dává číslo 107.

U čísel v intervalech [244,999], [164,243], [108,163] a [100,107] je vidět, že každé číslo větší než 99 se tímto procesem rychle zmenšuje. Tedy bez ohledu na to, s kterým číslem se začne, nakonec vznikne číslo menší než 100. Každé číslo z intervalu [1,99] je buď šťastné nebo se zacyklí.

Šťastná prvočísla

Šťastné prvočíslo je takové šťastné číslo, které je zároveň prvočíslem. Šťastná prvočísla menší než 500 jsou:

7, 13, 19, 23, 31, 79, 97, 103, 109, 139, 167, 193, 239, 263, 293, 313, 331, 367, 379, 383, 397, 409, 487 (Sekvence A035497 v OEIS).

Všechna čísla, a tedy i všechna prvočísla tvaru \(10^n + 3\) a \(10^n + 9\) pro n větší než 0 jsou šťastná. Je tomu tak proto, že:

  • Všechna tato čísla mají nejméně 2 číslice.</span>
  • První číslicí je vždy 1.
  • Poslední číslicí je vždy 3 nebo 9.</span>
  • Všechny další číslice jsou 0 (jejich druhá mocnina je taktéž 0, a tedy součet nijak neovlivní).
    • Posloupnost při přidání 3 je: 12 + 32 = 10 → 12 = 1
    • Posloupnost při přidání 9 je: 12 + 92 = 82 → 64 + 4 = 68 → 100 → 1

Palindromické prvočíslo 10150006 + 7426247×1075000 + 1, které má 150007 číslic, je taktéž šťastné číslo, neboť obsahuje mnoho nul, které součet neovlivňují a zbylá čísla dávají \(1^2 + 7^2+4^2+2^2+6^2+2^2+4^2+7^2 + 1^2 = 176\), což je šťastné číslo.

Toto prvočíslo bylo objeveno Paulem Joblingem v roce 2005.

Šťastná čísla v jiné než desítkové soustavě

Definice šťastných čísel je závislá na desítkové soustavě. Tuto definici lze rozšířit na ostatní číselné soustavy.

K vyznačení čísel v jiných soustavách je možné používat číslo v pravém dolním indexu, které představuje zvolenou soustavu. Například \(100_2\) představuje číslo 4 ve dvojkové soustavě. V každé číselné soustavě existují šťastná čísla. Například čísla

\(1_b,10_b,100_b,1000_b,...\)

jsou šťastná pro jakoukoliv číselnou soustavu \(b\).

Ze stejného důvodu jako výše se lze přesvědčit, že každé nešťastné číslo v číselné soustavě \(b\) vede k zacyklení v číslech menších než \(1000_b\). Využije se to, že když \(n < 1000_b\), pak součet druhých mocnin čísel vyjádřených číslicemi čísla \(n\) v soustavě \(b\) je menší nebo roven

\(3(b-1)^2\).

Lze dokázat, že tento výraz je vždy menší než \(b^3 = 1000_b\). Z toho lze usoudit, že jakmile se posloupnost dostane do čísla menšího než \(1000_b\), zůstane v tomto rozmezí, a musí se tedy zacyklit (neboť čísel menších než \(1000_b\) je jen konečně mnoho) či se dostat na 1.

Ve dvojkové soustavě jsou všechna čísla šťastná. Všechna čísla ve dvojkové soustavě menší než 10002 jsou totiž šťastná:

\( 111_2 \rightarrow 11_2 \rightarrow 10_2 \rightarrow 1 \)
\( 110_2 \rightarrow 10_2 \rightarrow 1 \)
\( 101_2 \rightarrow 10_2 \rightarrow 1 \)
\( 100_2 \rightarrow 1. \)

Dvojková soustava je tedy šťastná číselná soustava. Další takovou soustavou je soustava čtyřková.

Externí odkazy


Citováno z „http://ww.multimediaexpo.cz/mmecz/index.php/%C5%A0%C5%A5astn%C3%A9_%C4%8D%C3%ADslo“