Brownův pohyb

Z Multimediaexpo.cz

Znázornění Brownova pohybu na záznamu polohy nahodile se pohybující částice. Zobrazení téhož pohybu nezávisle v 32, 256 a 2048 krocích je znázorněno postupně světlejšími barvami

Brownův pohyb je náhodný pohyb mikroskopických částic v kapalném nebo plynném médiu. Je limitou náhodné procházky. Vysvětlením Brownova pohybu je, že molekuly v roztoku se vlivem tepelného pohybu neustále srážejí, přičemž směr a síla těchto srážek jsou náhodné, díky čemuž je i okamžitá poloha částice náhodná. Rychlost Brownova pohybu je úměrná teplotě systému.

Brownův pohyb poprvé zaznamenal v roce 1827 biolog Robert Brown, když pozoroval chování pylových zrnek ve vodě. Aby vyloučil možnost, že pohyb je projevem případného života, opakoval experiment s částicemi prachu. Podstatu tohoto jevu objasnil v roce 1905 Albert Einstein, vycházeje z kinetické teorie látek.

Souvislost s difuzí

Brownův pohyb má význam např. pro pochopení difuze látek v prostředí. S přibývajícím časem, na základě stochastické pravděpodobnosti jsou molekuly neustálým nahodilým pohybem rozptylovány z místa s nejvyšší koncentrací. Některé molekuly se v následných krocích sice nahodile vrací směrem k centru, jiné však již nikoli a soubor všech částic se tak od sebe rozptyluje. Molekuly se v důsledku náhodného pohybu rozptýlí – difundují do okolí.

Celková entropie systému se zvýší (to ovšem v žádném případě neznamená, že by difuze přímo vyplývala z Brownova pohybu či naopak).

Odvození Einsteinova vzorce pro Brownův pohyb

Vyjdeme z Langevinovy rovnice (rovnice pro popis Brownova pohybu):

$m\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=-\xi v+F^{\prime }(t)$

kde v je rychlost, F'(t) fluktuující síla, ξ je frikční koeficient.

Pro frikční koeficient vyjdeme ze Stokesovy formule pro kouli (předpokládáme kulatou částici): $F_f=\xi v=6\pi \mu rv$
Kde μ je dynamická viskozita. r je poloměr částice.

Vynásobíme langevinovu rovnici souřadnicí:

$m{x}_i\frac{\mathrm{d}{\dot{x}}_i}{\mathrm{d}t}=-\xi x_i{\dot{x}}_i+F^{\prime }(t)x_i$

Upravíme (derivace součinu):

$m[\frac{\mathrm{d}{\dot{x}}_i{x}_i}{\mathrm{d}t}-{\dot{x}}_i{\dot{x}}_i]=-\xi x_i{\dot{x}}_i+F^{\prime }(t)x_i$

Střední hodnota:

$m<\frac{\mathrm{d}{\dot{x}}_i{x}_i}{\mathrm{d}t}>-m<{\dot{x}}_i{\dot{x}}_i>=-\xi <x_i{\dot{x}}_i>+<F^{\prime }(t)><x_i>$

Souřadnice je nekorelovaná, proto vymizí ve střední hodnotě:$<x_i>=0$

Ekvipartiční teorém ve 3D — $1/2m{v}^2=3/2kT$ kde k je Boltzmanova konstanta a T je termodynamická teplota.

Po úpravě dostaneme:

$m<\frac{\mathrm{d}{\dot{x}}_i{x}_i}{\mathrm{d}t}>-3kT=-\xi <x_i{\dot{x}}_i>$

Řešení této diferenciální rovnice je (protože $<x_i{\dot{x}}_i>(0)=0$):

$<x_i{\dot{x}}_i>=\frac{3kT}{\xi }(1-\exp (-\xi t/m))$

Provedeme trik s derivací a dosadíme do následujícího výrazu výraz výše:

$1/2\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}<r^2(t)>=1/2\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}<x_i{x}_i>=<x_i{\dot{x}}_i>$

Dostaneme:

$<r^2(t)>=\frac{6kT}{\xi }\int (1-\exp (-\xi t/m))\mathrm{d}t=\frac{6kT}{\xi }[t-m/\xi (1-\exp (-\xi t/m))]$

Aproximace: $t\xi /m>>1$ odpovídá Brownově pohybu. Výsledek se redukuje na:

$<r^2(t)>=\frac{6kT}{\xi }t=\frac{kT}{\pi \mu r}t$

Což je výsledek pro Brownův pohyb ve 3D.

Kdybychom chtěli 1D Brownův pohyb, postup by byl stejný, až na ekvipartiční teorém, který v 1D zní $1/2m{v}^2=1/2kT$, jelikož máme jen jeden stupeň volnosti. Dostaneme pak následující vzorec pro Brownův pohyb v 1D:

$<r^2(t)>=\frac{2kT}{\xi }t=\frac{kT}{3\pi \mu r}t$

Související články

• Wienerův proces
• Entropie

Externí odkazy

• Heslo Molekulový pohyb v Ottově slovníku naučném