Brunova věta

Z Multimediaexpo.cz

Brunova věta je tvrzení z oboru číselné teorie, které poprvé dokázal Viggo Brun v roce 1919 pomocí takzvaného Brunova síta. Podle této věty platí, že číselná řada, jejímiž prvky jsou součty převrácených hodnot prvočíselných dvojčat, je konvergentní a konverguje k číslu známému jako Brunova konstanta (obvykle značené B₂).

Jinak řečeno, platí:

\( \sum\limits_{ p \, : \, p + 2 \in \mathbb{P} } {\left( {\frac{1}{p} + \frac{1}Šablona:P + 2} \right)} = \left( {\frac{1}{3} + \frac{1}{5}} \right) + \left( {\frac{1}{5} + \frac{1}{7}} \right) + \left( {\frac{1}Šablona:11 + \frac{1}Šablona:13} \right) + \cdots = B_2\)

Zajímavostí je, že není známo, zda je prvočíselných dvojčat konečný počet, tedy není ani známo, zda má řada výše konečný nebo nekonečný počet sčítanců.

Obsah 1 Hodnota Brunovy konstanty 2 Zobecnění 3 Reference 4 Externí odkazy

Hodnota Brunovy konstanty

Podle Richarda Crandalla a Carla Pomerance je dokázáno, že hodnota Brunovy konstanty leží v otevřeném intervalu (1,83;2,347).^[1] Dominic Klyve horní hranici intervalu dále zpřesnil na 2,1754 za předpokladu platnosti zobecněné Riemannovy hypotézy.^[2]

Thomas R. Nicely odhadl hodnotu Brunovy konstanty na 1,902160578 na základě výpočtu prvočíselných dvojčat do hodnoty \(10^{14}\).^[3]

Desetinný rozvoj Brunovy konstanty je v databázi celočíselných posloupností OEIS zařazen pod kódem A065421.^[4]

Zobecnění

Český matematik Karel Koutský dokázal v roce 1933^[5][6], že konvergence platí i pro obdobné řady, kde bereme dvojice prvočísel vzdálené o jinou pevně danou konstantu.^[7]

Reference

1. ↑ CRANDALL, Richard; POMERANCE, Carl. Prime Numbers: A Computational Perspective. [s.l.] : Springer, 2005. ISBN 0387252827.  
2. ↑ KLYVE, Dominic. Explicit bounds on twin primes and Brun's Constant [online]. [cit. 2011-11-18]. Dostupné online.  
3. ↑ NICELY, Thomas R.. Enumeration to 1.6*10^15 of the twin primes and Brun's constant [online]. 2010-01-18, [cit. 2011-11-18]. Dostupné online.  
4. ↑ oeis:A065421
5. ↑ KOUTSKÝ, Karel. Zobecnění Brunovy věty o dvojicích prvočísel. Rozpravy II. tř. Čes. Akademie, 1933, čís. 42.  
6. ↑ KOUTSKÝ, Karel. Généralisation du Théorème de M. Brun sur les couples des nombres premiers. Bulletin internat. de l'Academie des Sciences Boheme, 1933.  
7. ↑ SEKANINA, Milan. Život a dílo prof. Dr. Karla Koutského. Časopis pro pěstování matematiky, 1965, roč. 90, čís. 2, s. 250-256. Dostupné online.  

Externí odkazy

• Brunova konstanta v encyklopedii PlanetMath (anglicky)

Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010
Informace o článku. Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. Tento text je dostupný za podmínek Creative Commons 3.0 Unported – creativecommons.org. Originální článek na české Wikipedii