V sobotu 2. listopadu proběhla mohutná oslava naší plnoletosti !!
Multimediaexpo.cz je již 18 let na českém internetu !!

Eisensteinovo číslo

Z Multimediaexpo.cz

Trojúhelníková mříž Eisensteinových celých čísel v komplexní rovině

V matematice se jako Eisensteinova čísla, pojmenovaná po Ferdinandu Eisensteinovi (1823 – 1852), označují komplexní čísla tvaru

\(z = a + b\omega \,\!\)

kde a a b jsou celá čísla a

\(\omega = \frac{1}{2}(-1 + i\sqrt 3) = e^{2\pi i/3}\)

je (komplexní) třetí odmocnina z jedné. Podobně jako Gaussova čísla tvoří čtvercovou mříž, tvoří Eisensteinova čísla trojúhelníkovou mříž. Jedná se o okruh celistvých čísel číselného tělesa \(\mathbb{Q}\left(\mathrm i\sqrt{3}\right)\).

Dělitelnost

Na Eisensteinových číslech lze zavést dělitelnost stejně jako na celých číslech: \(x\) dělí \(y\) právě tehdy, existuje-li Eisensteinovo číslo \(z\) splňující \(y=zx\). To umožňuje převést z celých čísel i koncept prvočíselnosti, a mluvit o Eisensteinových prvočíslech.

Mezi Eisensteinovými čísly je celkem šest jednotek {±1, ±ω, ±ω2}, za Eisensteinova prvočíslo je tedy považováno každé takové Eisensteinovo číslo \(z\), které lze dělit pouze pouze jednotkami a prvky \(uz\), kde \(u\) je nějaká z jednotek.

Eisensteinova čísla tvoří komutativní okruh. Ten je dokonce eukleidovský, za eukleidovskou funkci je možno zvolit

\(N(a + b\,\omega) = a^2 - a b + b^2. \,\!\)