Eulerova–Lagrangeova rovnice

Z Multimediaexpo.cz

Eulerova-Lagrangeova rovnice se také často nazývá Eulerova rovnice nebo Lagrangeova rovnice, protože na této rovnici pracovali Leonhard Euler a Joseph Louis Lagrange současně okolo roku 1755. V oboru variačního počtu se jedná o diferenciální rovnici umožňující nalezení extrému funkcionálu a obvykle bývá užívána při optimalizaci a v mechanice pro odvozování pohybových rovnic různých objektů.

Obsah

Popis problému optimalizace

Je zadána tzv. Lagrangeova funkce (lagrangián) F tří proměnných, která má spojité první parciální derivace, do níž je dosazena funkce y(x),

\( F \left( x, y(x), y'(x) \right) \).

Aby funkce y(x) představovala extremálu následujícího funkcionálu J,

\( J = \int_a^b F(x, y(x), y'(x)) \, \mathrm{d}x \),

musí funkce y(x) být řešením následující obyčejné diferenciální rovnice zvané Eulerova-Lagrangeova rovnice.

\( \frac{\partial F}{\partial y} - \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \frac{\partial F}{\partial y'} = 0 \)

Příklad: „Nejlevnější cesta“

Úkolem je najít extrém následujícího funkcionálu J při splnění uvedených vazebních (okrajových) podmínek.

\( J = \int_0^1 \left[ y'(x)^2 + 12 x y(x) \right] \, \mathrm{d}x \)
\( y(0) = 0 \)
\( y(1) = 1 \)

V podstatě hledáme takovou trajektorii (množinu bodů \([x;y(x)]\)) z bodu [0;0] do bodu [1;1], aby daný určitý integrál, který závisí na této křivce, byl minimální.
Lze si také představit, že funkce \(F(x,y,y') = y'^2+12xy\) představuje „penalizaci“ v závislosti na poloze a směru, přičemž úkolem je dostat se do cíle „co nejlevněji“.

Dosazením funkce F do Eulerovy-Lagrangeovy rovnice odvodíme následující obyčejnou diferenciální rovnici (lineární nehomogenní 2. řádu).

\( 12x - 2y = 0 \)

Získanou rovnici můžeme snadno vyřešit dvojnásobnou integrací:

\( y = 6x \),
\( y' = 3x^2 + c_1 \),
\( y = x^3 + c_1 x + c_2 \).

Hodnotu integračních konstant c1 a c2 vypočteme z okrajových podmínek \( y(0) = 0 \) a \( y(1) = 1 \) a získáme tak hledanou funkci \( y(x) \).

\( c_1 = 0 \)
\( c_2 = 0 \)
\( y(x) = x^3 \)

Související články

Externí odkazy


Citováno z „http://ww.multimediaexpo.cz/mmecz/index.php/Eulerova%E2%80%93Lagrangeova_rovnice“